Integral sin^5(x) / cos^4(x) lösen

Question

$$ \begin{aligned} \int \frac{\sin ^{5}(x)}{\cos ^{4}(x)} d x &=-\int \frac{\sin ^{4}(x)}{\cos ^{4}(x)} d(\cos (x)) \\ &=-\int \frac{\left(1-u^{2}\right)^{2}}{u^{4}} d u \\ &=-\int\left(1-\frac{2}{u^{2}}+\frac{1}{u^{4}}\right) d u \\ &=-u-\frac{2}{u}+\frac{1}{3 u^{3}} \\ &=-\cos (x)-\frac{2}{\cos (x)}+\frac{1}{3 \cos ^{3}(x)} \end{aligned} $$

Problem/Ansatz:

Hier der Lösungsweg, allerdings ist mir unklar was genau bei dem zweiten Schritt passiert. Wo kommt die Klammer (1-u^2)^2 her ? Und warum kann man den cosinus den man ja mit u substituiert hat bei du für das u eintragen? Habe ich so sonst noch nicht gesehen.

Vielen Dank im Voraus :)

Answer 1

Aloha :)

Wegen \(\sin^2(x)+\cos^2(x)=1\) ist \(\sin^2(x)=1-\cos^2(x)\) bzw. \(\sin^4(x)=(1-\cos^2(x))^2\).

Weiter ist \(\frac{d}{dx}{\left(\,\cos(x)\,\right)}=-\sin(x)\) bzw. \(d(\cos(x))=-\sin(x)\,dx\).

$$\frac{\sin^5(x)}{\cos^4(x)}\,dx=\frac{\sin^4(x)}{\cos^4(x)}\,\sin(x)\,dx=-\frac{(1-\cos^2(x))^2}{\cos^4(x)}\,d(\cos(x))$$Jetzt kann man schön erkennen, dass \(u=\cos(x)\) substituiert wurde.

Answer 2

Ich habe das mal etwas kleinschrittiger gemacht.

∫ sin(x)^5 / cos(x)^4 dx

Subst.
z = cos(x)
1 dz = (-sin(x)) dx
dx = -1 / sin(x) dz

∫ sin(x)^5 / z^4 * (-1) / sin(x) dz

- ∫ sin(x)^4 / z^4 dz

- ∫ (sin(x)^2)^2 / z^4 dz

- ∫ (1 - cos(x)^2)^2 / z^4 dz

- ∫ (1 - z^2)^2 / z^4 dz

- ∫ (1 - 2 * z^2 + z^4) / z^4 dz

- ∫ (1/z^4 - 2/z^2 + 1) dz

- ∫ (1 - 2/z^2 + 1/z^4)  dz