Unklarer Rechenweg beim Rückwärtsanwenden von binomischen Formeln

Question

Aufgabe:

5a² + 8ab + 3b² = (4a² + 8ab + 4b²) + (a² - b²) = (2a + 2b)² + (a - b)(a + b) = 4(a+b)² + (a+b)(a-c) = (a+b)(4(a+b) + a - b)

 = (a+b)(5a+3b)

Problem/Ansatz:

Ich verstehe nicht, wie man auf den ersten Zwischenschritt kommt, wo kommt da das (a² - b²) her? Den nachfolgenden Zwischenschritt kann ich wieder verstehen. Hier werden ja einfach nur die erste und die dritte binomische Formel angewendet.

Was danach passiert verstehe ich auch wieder nicht. Wo kommt hier die 4 her? 

Answer 1

Aloha :)

$$\underbrace{5a^2}_{=4a^2+a^2}+8ab+\underbrace{3b^2}_{=4b^2-b^2}=4a^2\underrightarrow{+a^2+8ab+4b^2}-b^2=4a^2+8ab+4b^2+a^2-b^2$$$$=(4a^2+8ab+4b^2)+(a^2-b^2)=(2a+2b)^2+(a+b)(a-b)$$$$=[2(a+b)]^2+(a+b)(a-b)=2^2\cdot(a+b)^2+(a+b)(a-b)$$$$=4\cdot(a+b)^2+(a+b)(a-b)=(a+b)\cdot\left[4(a+b)+(a-b)\right]$$$$=(a+b)\cdot\left[4a+4b+a-b\right]=(a+b)(5a+3b)$$

Comments

Hab das heute nochmal in Ruhe durchgerechnet. Eine letzte Unklarheit besteht leider noch. Sorry anscheinend bin ich zu langsam.

Bei diesem Schritt

[2(a+b)]²+(a+b)(a−b)=2²⋅(a+b)²+(a+b)(a−b)

verstehe ich nicht, wie

[2(a+b)]² zu 2²⋅(a+b)² werden kann. 

Eigentlich ist doch [2(a+b)]² =  [2(a+b)] * [2(a+b)] und damit wieder eine binomische Formel!?

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es gilt

(a * b)^2 = a^2 * b^2

siehst du die Anwendung bei

(2 * (a+b))^2 = 2^2 * (a+b)^2

Answer 2

Um aus 5a² + 8ab + 3b² eine binomische Formel herauszufiltern, gibt es viele Möglichkeiten. Eine davon zelegt 5a² in 4a² + a² und 3b² in 4b²-b². Dann ist

5a² + 8ab + 3b² = 4a²+a²+8ab+4b²-b²=4a²+8ab+4b²+a²-b²=

4(a²+2ab+b²)+(a²-b²)=4(a+b)²+(a-b)(a+b)=(4(a+b)+(a-b))(a+b).