Gewinnfunktion Maximum

Question

Sie Verkaufen einen Hilfsstoff für 20€/kg. Bei diesem Preis verkaufen sie 10000kg pro Monat. Wenn sie den Preis um 0,02€/kg senken verkaufen sie monatlich 100kg mehr. Für welchen Preis wir der Gewinn Maximal, wenn sie pro kg Produktionskosten von 14€ haben,

y=mx+b

P1(20/10000); P2( 19,98/10100)   => das ergibt dann die Funktion y= -5000x+110000

Ich muss jetzt die Gewinnfunktion aufstellen davon die 1Ableitung gleich Null setzten um das Maximum zu errechnen, soweit ich jetzt nicht falsch liege.

Habe Schwierigkeiten das hinzukriegen, vielleicht kann mir einer helfen die restlichen Schritte gemeinsam zu errechnen.

:)

Answer 1

G(x) = E(x)-K(x)

E(x)= p(x)*x

p(x):

x(p)= -5000x+110000

nach p umstellen:

p(x)= (110000-x)/5000 = 22-x/5000

G(x)= 22x-x^2/5000 -14x = 8x-x^2/5000

G '(x)= 0

8- 2x/5000 =0

x= 20000

p(20000) = 22 - 20000/5000 = 18

Answer 2

p(x) = - 0.02/100·(x - 10000) + 20 = 22 - 0.0002·x

E(x) = p(x)·x = 22·x - 0.0002·x^2

G(x) = E(x) - K(x) = 8·x - 0.0002·x^2

G'(x) = 8 - 0.0004·x = 0 --> x = 20000 kg

p(20000) = 18 €/kg

Answer 3

Verkaufte_Menge ( Preis/kg ) = -5000 * Preis/kg+110000
Erlös = Verkaufte_menge * Preis/kg
Kosten ( Verkaufte_Menge ) = 14 * Verkaufte_Menge

Gewinn = Erlös - Kosten
Gewinn = ( -5000 * Preis/kg+110000 ) * preis/kg -
               ( -5000 * Preis/kg+110000 ) * 14
Abkürzung p = preis/kg

g = -5000 * p^2 + 110000 * p - 5000*14*p + 110000*14
g = -5000 * p^2 +180000 * p + 1540000

1.Ableitung
g ´= -10000 * p + 180000
-10000 * p + 180000 = 0

Maximum
p = 18 €/kg