Wahrscheinlichkeitsrechnung (Normalverteilung; Mittelwert und Standardabweichung)

Question

Aufgabe:

Eine Maschine erzeugt Schrauben,deren Länge annähernd normalverteilt mit µ=25 mm und σ=0,4 mm ist.

Problem/Ansatz:

1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,dass eine zufällig ausgewählte Schraube mindestens 24,8 mm lang ist ?

2.Welche lange werden 95% der Schrauben annehmen? (Symmetrische Intervall um den Mittelwert)

Die erste habe ich schon probiert:

P(X≥25,8)= 1- P(X≤24,8) =1-0,4801=0,5199

Aber die Antwort muss 0,6915 heißen.

Kann jemand mir helfen, meinen Fehler zu finden, und auch mit Frage Nr. 2?

Vielen Dank für Ihre Hilfe

Answer 1

1- P(X≤24,8)

Das ist korrekt.

=1-0,4801

Das ist nicht korrekt. Korrekt ist 1 - 0,3085. Du hast entweder aus der Tabelle falsch abgelesen oder in den Taschenrechner falsch eingetippt.

Welche lange werden 95% der Schrauben annehmen?

Gesucht ist das x, für das

        P(X ≤ x) = 1 - (1 - 95%)/2

ist. Auch hier geht es um korrekten Werkzeuggebrauch. Bei meinem Taschenrechner tippe ich dazu einfach

quantile_normal((1 - (1-0.95)/2), 25, 0.4)

ein und bekomme nach Umwandlung in eine Dezimahlzahl 25,7840. Das gesuchte Intervall ist dann [25-(25,7840-25) ; 25,7840]

Comments

Ist das möglich ohne spezialisierte  Taschenrechner?

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Natürlich ist das möglich. Letztendlich kochen Taschenrechner auch nur mit Wasser (d.h. mit Addition und Multiplikation), das aber sehr sehr schnell. Alles was ein Taschenrechner kann, kann man auch von Hand berechnen, dann aber entsprechend langsamer.

Das Problem ist, dass die Stammfunktion der Dichtefunktion

        \(f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot e^{-\frac{x^2}{2}}\)

der Normalverteilung nicht mittels Addition, Multiplikation und Potenzen ausgedrückt werden kann, sondern dass man zusätzlich Grenzwerte braucht.

Answer 2

Du hast in der Tabelle bei 0,05 nachgesehen, hättest aber 0,5 aufsuchen müssen. (Die Abweichung der vorgegebenen Länge von µ beträgt 0,2 mm, das ist das 0,5-fache von σ.)

Die 95% der Schrauben aus Aufgabe 2 sind wegen des symmetrischen Intervalls
alle Schrauben mit Ausnahme

- der 2,5% kürzesten Schrauben

- der 2,5% längsten Schrauben

Suche also für die Ermittlung der oberen Intervallgrenze in der Tabelle nach 0,975.

Answer 3

Aloha :)

Um die Tabellen bezüglich der Standard-Normalverteilung \(\Phi(z)\) mit Mittelwert 0 und Standardabweichung 1 nutzen zu können, solltest du dein normalverteiltes Problem zunächst mittels der \(z\)-Transformation, \(z:=\frac{x-\mu}{\sigma}\), normalisieren.

zu 1) \(\;\;z=\frac{24,8-25}{0,4}=-0,5\;\;\) und \(\;\;\Phi(z=-0,5)=0,308538\)

\(\phantom{zu 1)}\;\;\)Das heißt, die Wahrscheinlichkeit, eine Schraube mit \(<24,8\,\)mm zu erwischen ist \(30,85\%\).

\(\phantom{zu 1)}\;\;\Rightarrow\quad p(x\ge24,8)=1-\Phi(-0,5)=0,691462\approx69,15\%\)

zu 2) \(\;\;\)Hier musst du umgekehrt in einer Normalverteilungstabelle \(\Phi(z)\) nachschlagen:

\(\phantom{zu 2)}\;\;\Phi(z)\stackrel{!}{=}2,5\%\;\;\Leftrightarrow\;\;z=-1,959964\quad;\quad\Phi(z)\stackrel{!}{=}97,5\%\;\;\Leftrightarrow\;\;z=1,955964\)

\(\phantom{zu 2)}\;\;\)Jetzt kannst du das wieder von \(z\) nach \(x\) transformieren:

\(\phantom{zu 2)}\;\;z=\frac{x-\mu}{\sigma}\;\;\Leftrightarrow\;\;x=z\sigma+\mu\quad\Rightarrow\quad x_{min}=24,216\;\;;\;\;x_{max}=25,784\)

\(\phantom{zu 2)}\;\;\)\(95\%\) der Schrauben haben eine Länge von \(24,22\,mm\) bis \(25,78\,mm\).

Comments

vielen Dank!

 Was ist “ ! ”  in der Gleichung F(z)=2.5%

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Das ist eine "Forderung", das Symbol \(\stackrel{!}{=}\) bedeutet so viel wie "soll sein".