85% der Äpfel,die ein Obstbauer

Question

Aufgabe:

85% der Äpfel,die ein Obstbauer erntet,

sind zwischen 120 g und 180 g schwer.

Problem/Ansatz:

Berechne unter den Annahme,dass das Gewicht der Äpfel normalverteilt ist

und das Intervall [120;180] symmetrisch zum Erwartungswert liegt,

die Wahrscheinlichkeit,dass ein beliebig ausgewälter Apfel schwerer als 155 g ist

Können Sie mir Hilfe,

Vielen Dank !!!

Answer 1

μ = 1/2·(120 + 180) = 150

NORMAL((180 - 150)/σ) = 0.5 + 1/2·0.85 --> σ = 20.84

1 - NORMAL((155 - 150)/20.84) = 0.4052

Comments

Vieelen dank !!!

Kann ich fragen,wenn es geht:

P(180-150/sigma)=0.5+0.5*0.85

P(30/sigma)=0.925

Und dann 30:0.925?

Ich verstehe dass es ist vielleicht muss klar sein,aber für mich nicht

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NORMAL(30/sigma) = 0.925

30/sigma = NORMAL^-1(0.925)

30/sigma = 1.440

30 = 1.440·sigma

30/1.440 = sigma

sigma = 30/1.440 = 20.83

Oben habe ich nur mit ungerundeten Werten gerechnet. Das ist aber egal.

NORMAL^-1(...) ist die Inverse Normalverteilung. Die kann man entweder in der Tabelle nachschlagen oder aber mit einem Taschenrechner ausrechnen.

Answer 2

Aloha :)

Um die Normalverteilung anwenden zu können, benötigen wir den Erwartungswert $\mu$ und die Standardabweichung $\sigma$ für das Problem. Wir wissen, dass das Intervall $[120;180]$ symmetrisch um den Erwartungswert $\mu$ liegt, daher ist $\mu$ die Mitte des Intervalls: $\mu=150$. Wir wissen weiter, dass $85\%$ aller Äpfel im Intervall $[120;180]$ liegen. Das heißt, $7,5\%$ der Äpfel sind leichter als $120\,g$ und $7,5\%$ der Äpfel sind schwerer als $180\,g$. Aus einer Tabelle zur Standard-Normalverteilung $\Phi(z)$ liest man Folgendes ab:

$$\Phi(-1,43953)=7,5\%\quad;\quad\Phi(1,43953)=92,5\%$$Das heißt, das $85\%$-Intervall um den Mittelwert geht von $-1,43953\,\sigma$ bis $1,43953\,\sigma$:

$$\left[120;180\right]=\left[150-30;150+30\right]\stackrel{!}{=}\left[\mu-1,43953\sigma;\mu+1,43953\sigma\right]$$$$\Rightarrow\quad\sigma=\frac{30}{1,43953}\approx20,84011$$Jetzt kennen wir $\mu=150$ und $\sigma=20,84$ für das Problem. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Apfel weniger als $155\,g$ wiegt lesen wir wieder aus der einer Tabelle $\Phi(z)$ zur Standard-Normalverteilung ab:$$p(<155\,g)=\Phi\left(\frac{155-\mu}{\sigma}\right)=\Phi(0,239922)=0,594805$$Daher ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Apfel schwerer als $155\,g$ ist:

$$p(\ge155\,g)=1-p(<155\,g)=1-0,594805=40,5195$$