85% der Äpfel,die ein Obstbauer

Question

Aufgabe:

85% der Äpfel,die ein Obstbauer erntet,

sind zwischen 120 g und 180 g schwer.

Problem/Ansatz:

Berechne unter den Annahme,dass das Gewicht der Äpfel normalverteilt ist

und das Intervall [120;180] symmetrisch zum Erwartungswert liegt,

die Wahrscheinlichkeit,dass ein beliebig ausgewälter Apfel schwerer als 155 g ist

Können Sie mir Hilfe,

Vielen Dank !!!

Answer 1

μ = 1/2·(120 + 180) = 150

NORMAL((180 - 150)/σ) = 0.5 + 1/2·0.85 --> σ = 20.84

1 - NORMAL((155 - 150)/20.84) = 0.4052

Comments

Vieelen dank !!!

Kann ich fragen,wenn es geht:

P(180-150/sigma)=0.5+0.5*0.85

P(30/sigma)=0.925

Und dann 30:0.925?

Ich verstehe dass es ist vielleicht muss klar sein,aber für mich nicht

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NORMAL(30/sigma) = 0.925

30/sigma = NORMAL^{-1}(0.925)

30/sigma = 1.440

30 = 1.440·sigma

30/1.440 = sigma

sigma = 30/1.440 = 20.83

Oben habe ich nur mit ungerundeten Werten gerechnet. Das ist aber egal.

NORMAL^{-1}(...) ist die Inverse Normalverteilung. Die kann man entweder in der Tabelle nachschlagen oder aber mit einem Taschenrechner ausrechnen.

Answer 2

Aloha :)

Um die Normalverteilung anwenden zu können, benötigen wir den Erwartungswert \(\mu\) und die Standardabweichung \(\sigma\) für das Problem. Wir wissen, dass das Intervall \([120;180]\) symmetrisch um den Erwartungswert \(\mu\) liegt, daher ist \(\mu\) die Mitte des Intervalls: \(\mu=150\). Wir wissen weiter, dass \(85\%\) aller Äpfel im Intervall \([120;180]\) liegen. Das heißt, \(7,5\%\) der Äpfel sind leichter als \(120\,g\) und \(7,5\%\) der Äpfel sind schwerer als \(180\,g\). Aus einer Tabelle zur Standard-Normalverteilung \(\Phi(z)\) liest man Folgendes ab:

$$\Phi(-1,43953)=7,5\%\quad;\quad\Phi(1,43953)=92,5\%$$Das heißt, das \(85\%\)-Intervall um den Mittelwert geht von \(-1,43953\,\sigma\) bis \(1,43953\,\sigma\):

$$\left[120;180\right]=\left[150-30;150+30\right]\stackrel{!}{=}\left[\mu-1,43953\sigma;\mu+1,43953\sigma\right]$$$$\Rightarrow\quad\sigma=\frac{30}{1,43953}\approx20,84011$$Jetzt kennen wir \(\mu=150\) und \(\sigma=20,84\) für das Problem. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Apfel weniger als \(155\,g\) wiegt lesen wir wieder aus der einer Tabelle \(\Phi(z)\) zur Standard-Normalverteilung ab:$$p(<155\,g)=\Phi\left(\frac{155-\mu}{\sigma}\right)=\Phi(0,239922)=0,594805$$Daher ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Apfel schwerer als \(155\,g\) ist:

$$p(\ge155\,g)=1-p(<155\,g)=1-0,594805=40,5195%$$