Wie viel Prozent der abgegebenen Gepäckstücke wird das Unternehmen voraussichtlich abweisen müssen?

Question

Aufgabe:

Ein Transportunternehmen nimmt Gepäckstücke bis zu 20 kg an.

Aufgrund bisheriger Erfahrungen geht das Unternehmen davon aus, dass die Massen der abgegebenen Gepäckstücke annähernd normalverteilt mit  μ=17 kg und σ=2kg sind

Problem/Ansatz:

1-) Wie viel Prozent der abgegebenen Gepäckstücke wird das Unternehmen voraussichtlich abweisen müssen?

Warum die Antwort kommt mit

F(-z)=(x-μ)/σ

Warum nicht mit F(z) ?

2-) Welche maximale Gepäckmasse müsste das Unternehmen tolerieren,damit es nur 1% der abgegebenen Gepäckstücke abweisen müsste?

Ist das möglich lösen mit Formeln:

F(z)=(x-μ)/σ ?

Vielen Dank im Voraus !!!

Answer 1

1) Wie viel Prozent der abgegebenen Gepäckstücke wird das Unternehmen voraussichtlich abweisen müssen?

1 - NORMAL((20 - 17)/2) = 0.0668 = 6.68%

2) Welche maximale Gepäckmasse müsste das Unternehmen tolerieren, damit es nur 1% der abgegebenen Gepäckstücke abweisen müsste?

1 - NORMAL((x - 17)/2) = 0.01 --> x = 21.65 kg

Answer 2

Sei X das Gewicht eines zufällig ausgewählten Gepäckstücks.

Wie viel Prozent der abgegebenen Gepäckstücke wird das Unternehmen voraussichtlich abweisen müssen?

Gesucht ist P(X > 20).

Es ist

        P(X > 20) = ∫_{(20-17)/2..∞} φ((x-17)/2) dx

wobei φ die Dichtefunktion der Standardnormalverteilung ist.

Weil φ achsensymmetrisch bezüglich der y-Achse ist, gilt

        ∫_{(20-17)/2..∞} φ(x) dx = ∫_{-∞..-(20-17)/2} φ(x) dx.

Laut Definition

        F(x) := ∫_-∞..x φ(t) dt

der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung und Transformation

        z = (x-μ)/σ = (20-17)/2

ist dann

        P(X > 20) = F(-(20-17)/2) = F(-z).

Welche maximale Gepäckmasse müsste das Unternehmen tolerieren,damit es nur 1% der abgegebenen Gepäckstücke abweisen müsste?

Löse dazu die Gleichung

        F((x-17)/2) = 0,99.

Aus ähnlichen Überlegungen wie oben hat diese Gleichung die selbe Lösung wie

        F(-(x-17)/2) = 1 - 0,99.

Diese Gleichung löst man mit dem Taschenrechner, oder man schaut den Wert von t mit

        F(t) = 0,01

in einer Tabelle nach und löst dann t = -(x-17)/2.

Answer 3

Aloha :)

zu 1)

Die Standard-Normalverteilung \(\Phi(z)\) gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass der Wert einer standard-normalverteilten Zufallsgröße zwischen \(-\infty\) und \(z\) liegt. In deinem Fall mit der Zufallsgröße Koffergewicht wäre das aber gerade der Bereich, in dem die Koffer akzeptiert werden. Du brauchst die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgröße zwischen \(z\) und \(+\infty\) liegt, also \(1-\Phi(z)\). Da die Standard-Normalverteilung mit \(\Phi(z)+\Phi(-z)=1\) symmetrisch ist, gilt \(\Phi(-z)=1-\Phi(z)\).

$$z=\frac{x-\mu}{\sigma}=\frac{20-17}{2}=1,5\quad;\quad \Phi(-z)=\Phi(-1,5)=0,066807\approx6,68\%$$

zu 2)

Hier musst du rückwärts rechnen. Aus einer Tabelle zur Standard-Normalverteilung \(\Phi(z)\) kannst du entnehmen:

$$\Phi(2,32635)=0,99$$

Du weißt nun, wie groß \(z\) sein muss, damit 99% aller Koffer akzeptiert werden. Daraus kannst du die passende Gewichtsobergrenze \(x\) berechnen:

$$\frac{x-\mu}{\sigma}=2,32635\;\;\Rightarrow\;\;x=2,32635\cdot\sigma+\mu=2,32635\cdot2+17\approx21,65$$