Wahrscheinlichkeit normalverteilter Zufallsvariablen berechnen

Question

Aufgabe:

Es sei \( X \sim N_{5,2} \) und \( Y=X^{2} . \) Berechne die Wahrscheinlichkeit der Ereignisse \( \{\omega: X(\omega) \leq 0\} \) und \( \{\omega: Y(\omega) \leq 1\} \)

Problem/Ansatz:

Hallo, ich habe ein Problem mit der Aufgabe oben. Ich denke man muss hier mit dem zentralen Grenzwertsatz und der Standardnormalverteilung arbeiten. Jedoch verwirrt mich vor allem das Y = X²  , da ich nicht so ganz weiß was ich damit anfangen soll.

Answer 1

$$ \mathbb{P} (X \le 0) = \Phi\left( \frac{0-\mu}{\sigma}  \right) \approx 0.006 $$

$$ \mathbb{P} (Y \le 1) = \mathbb{P} (X^2 \le 1) = \mathbb{P} (-1 \le X \le 1) = \Phi\left( \frac{1-\mu}{\sigma}  \right) - \Phi\left( \frac{-1-\mu}{\sigma}  \right) \approx 0.021 $$

\( \Phi(x) \) ist die Standardnormalverteilung