Bilinearform auf dem K^n zeigen

Question

Aufgabe:

Man zeige, dass für jede n x n Matrix $$A \in \operatorname{Mat}(n ; K)$$$$ \langle x, y\rangle= x^{t} A y $$ eine Bilinearform auf dem Vekorraum \( K^n \) ist.

Problem/Ansatz:

Ich weiss jetzt nicht wie ich das zeigen soll. Ich muss ja einfach folgendes zeigen:

1. linear in jedem der beiden Argumente: $$ \begin{array}{l}{\langle x+y, z\rangle=\langle x, z\rangle+\langle y, z\rangle} \\ {\langle x, y+z\rangle=\langle x, y\rangle+\langle x, z\rangle} \\ {\langle\lambda x, y\rangle=\lambda\langle x, y\rangle} \\ {\langle x, \lambda y\rangle=\lambda\langle x, y\rangle}\end{array} $$

2. symmetrisch: $$ \langle x, y\rangle=\langle y, x\rangle $$

3. positiv definit: $$ \begin{array}{l}{\langle x, x\rangle \geq 0} \\ {\langle x, x\rangle= 0 \text { genau dann,wenn } x=0}\end{array} $$

Comments

Punkt 3 gehört nicht dazu.

Answer 1

Aloha :)

Für eine Bilinearform muss nur gelten, was du unter Punkt 1 zusammengefasst hast.

1a) \(\;\;\left<x+y,z\right>=(x+y)^tAz=(x^t+y^t)Az=x^tAz+y^tAz=\left<x,z\right>+\left<y,z\right>\)

1b) \(\;\;\left<x,y+z\right>=x^tA(y+z)=x^tAy+x^tAz=\left<x,y\right>+\left<x,z\right>\)

1c) \(\;\;\left<\lambda x,y\right>=(\lambda x)^tAy=\lambda\,x^tAy=\lambda\left<x,y\right>\)

1d) \(\;\;\left<x,\lambda y\right>=x^tA(\lambda y)=\lambda\,x^tAy=\lambda\left<x,y\right>\)