Zeigen Sie, dass V^{0} ⊂ V ein Untervektorraum ist sowie wohldefinierte Bilinearform auf dem Quotientenvektorraum

Question

Aufgabe:

Sei \( V \) ein endlich-dimensionaler \( K \) -Vektorraum, versehen mit einer Bilinearform \( \Phi: V \times V \rightarrow K, \) die symmetrisch oder antisymmetrisch ist. Man bezeichnet die Teilmenge
\( V^{0}=\{x \in V \mid \Phi(x, y)=0 \text { für alle } y \in V\} \)
als das Radikal der Bilinearform. Zeigen Sie, dass \( V^{0} \subset V \) ein Untervektorraum ist, und dass
\( \Psi\left(x+V^{0}, y+V^{0}\right)=\Phi(x, y) \)
eine wohldefinierte Bilinearform auf dem Quotientenvektorraum \( V / V^{0} \) liefert, welche nichtentartet ist.

Answer 1

Untervektorraum ist nicht sio wild:
Sind v und w aus Vo dann ist zu zeigen
v + w aus Vo  und
x*v aus Vo
 zum ersten:
v aus Vo heißt ja (Ich schreib mal F für die Bilinearform)
F(v,y) = 0 für alle y aus V  und w aus Vo also
F(w,y)=0 für alle y aus V
dann ist
F (v+w,y) = F(v,y) + F (w,y) (weil es eine Linearform ist)
                = 0 + 0 = 0
also auch v+w in Vo.

und F(x*v,y) = x*F(v,y)   = x*0 = 0
also auch  x*v  aus Vo.
Bis hierhin braucht man also das symmetrisch oder antisymmetrisch nicht.

Die Sache mit dem Quotientenraum habe ich noch nicht.

Comments

Für "wohldefiniert" muss man ja wohl zeigen:
Wenn man statt y+Vo für das gleiche Element von V/Vo eine
andere Darstellung  z+Vo nimmt, gibt es das gleiche
Ergebnis, also ist  Φ(x,y) = Φ(x,z)  und das stimmt wohl, weil
x+Vo  = z+Vo heißt, dass  y-z aus Vo
und dann ist  ja   Φ(x, y-z)= 0 und wegen der Bilinearität
  Φ(x, y) -   Φ(x, z) = 0

und in der anderen Komponente wegen (anti)symmetrisch auch.

Fehlt noch die Bilinearität das Nicht-entartet.