Kann mir hierbei jemand helfen?
Es sei \( 1 \leq n \in \mathbb{N} \). Gegeben sei der Vektorraum \( V \) der Polynome vom Grade \( <n \) über einem Körper \( K \) und \( a_{1}, \ldots, a_{n} \in K \) feste Elemente. Ferner sei
\( \Phi: V \times V \rightarrow K,(f, g) \mapsto \sum \limits_{k=1}^{n} f\left(a_{k}\right) g\left(a_{k}\right) . \)
a) Zeigen Sie, dass \( \Phi \) eine symmetrische Bilinearform auf \( V \) ist.
b) Zeigen Sie, dass \( \Phi \) genau dann nicht-ausgeartet ist, wenn \( \#\left\{a_{1}, \ldots, a_{n}\right\}=n \).
Nun sei speziell Char \( (K)=7, n=4 \) und \( a_{1}=-2, a_{2}=-1, a_{3}=1, a_{4}=2 \).
c) Bestimmen Sie die Gram-Matrix von \( \Phi \) bezüglich der Standardbasis \( S=\left(1, X, X^{2}, X^{3}\right) \).
d) Berechnen Sie eine Orthogonalbasis \( O \) von \( V \) bezüglich \( \Phi \).
e) Geben Sie die Gram-Matrix \( \mathcal{G}_{O}(\Phi) \) von \( \Phi \) bezüglich \( O \) an.
f) Existiert eine Basis \( Q \subset V \) bezüglich welcher die Gram-Matrix \( \mathcal{G}_{Q}(\Phi) \) die Einheitsmatrix ist? Begründen Sie Ihre Antwort.
(Vor allem e) und f) machen mir zu schaffen)
