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Ich verzweifle grad an diesen beiden Aufgaben. Könnte mir eventuell jemand erklären wie ich die Stetigkeit it dem Folgenkriterium hier am besten untersuche? Ich habe generell schon probleme die Stetigkeit nachzuweisen aber diese beiden Aufgaben mit 2 variablen sowie einem vektor? bringen mich zum verzweifeln.

Untersuchen Sie die Funktionen f und g auf Stetigkeit

$$ \text { a) } f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, x \mapsto f(x)=\left\{\begin{array}{ll}{\left(\frac{\sqrt{\mathrm{e}^{x}}}{x}, \mathrm{e}^{x}\right),} & {x \neq 0} \\ {(0,1),} & {\text { sonst. }}\end{array}\right. $$

$$ \text { b) } g : \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R},(x, y) \mapsto g(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}{\ln \left(x^{2}+y^{2}\right),} & {(x, y) \neq(0,0)} \\ {0,} & {\text { sonst. }}\end{array}\right. $$

$$ \begin{array}{l}{\text { Bestimmen Sie alle Punkte }(x, y) \in \mathbb{R}^{2}, \text { in denen die Funktion }} \\ {\qquad h : \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2},(x, y) \mapsto h(x, y) :=\left\{\begin{array}{cl}{\left(\frac{e^{z}+y^{3}}{y}\right),} & {\text { für } y \neq 0} \\ {\left(\frac{1}{0}\right),} & {\text { für } y=0} \\ {\text { stetig ist. }}\end{array}\right.}\end{array} $$

Ergänzung zu h. "Bruchstriche" wegdenken. Das sollen Vektoren sein. Vgl. Kommentare

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Wenn ihr auf Stetigkeit untersucht, untersucht ihr da prinzipiell den ganzen Definitionsbereich?

D.h. genügt eine Unstetigkeitsstelle, um die Funktion als unstetig abzutun, oder soll das genauer werden?

Falls es genauer sein soll (wie bei c)) , kannst du ja erst mal angeben, in welchen Bereichen die Funktionen sicher stetig sind.

Tipp: Schau schon mal bei den "ähnlichen Fragen". z.B. https://www.mathelounge.de/453985/funktionen-f-g-h-auf-stetigkeit-untersuchen

Ist ein Teil deiner Aufgaben a) - c) nun erledigt?

Kannst Du bitte nochmal Deine Teilaufgabe c. überprüfen. Das kann so nicht stimmen

h:R2->R2

1: Eine Unstetigkeitsstelle reicht aus

3: Steht genauso in meiner Aufgabenstellung ich hab keinen fehler beim übertragen gemacht.

Sage ihm einfach, dass die Bruchstriche nicht zählen sollen, wenn er das nicht selber merkt.

ohh die letzte Aufgabe wurde doch Falsch übertragen tut mir leid

$$ h : \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2},(x, y) \mapsto h(x, y) :=\left\{\begin{array}{cc}{\left(\begin{array}{c}{\frac{\mathrm{e}^{y}}{}} \\ {\frac{x^{2}+y^{3}}{y}}\end{array}\right),} & {\text { für } y \neq 0} \\ {\left(\begin{array}{l}{1} \\ {0}\end{array}\right),} & {\text { für } y=0}\end{array}\right.$$

Danke Gast hj2166 für Deinen qualifizierten Kommentar. Ich merk zwar manches nicht, aber ich helfe ungern Schüler und Studenten bei unplausiblen Aufgaben.

soweit bin ich mittlerweile gekommen nur bei der letzten aufgabe fehlt mir der komplette ansatz was ich als folge für x nehmen soll IMG_20190903_190658[1].jpg IMG_20190903_191025[1].jpg

Wähle vielleicht x = 1/n und y = 1/n^2.

Danke habe für lim f(xn, yn) = 1 also ist ist die funktion unstetig

2 Antworten

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Für x gegen 0 geht bei 1a das f(x) gegen

(0,5 ; 1). Also f bei O nicht stetig.

Avatar von 289 k 🚀

ich versteh ehrlich gesagt gar nicht wie ich das ganze angehen soll. ist das bis dahin richtig und wie mache ich dann weiter?IMG_20190903_172116[1].jpg

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Ich würde bei der (b.) die Polarkoordinaten einsetzen, also

$$x=r*cos(φ) , y = r*sin(φ)$$

$$\lim\limits_{(x,y)\to (0,0)} ln(x^2+y^2)=\lim\limits_{r\to 0} ln(r^2(cos^2(φ)+sin^2(φ))=\lim\limits_{r\to 0} 2ln(r)=- \infty$$

Also ist die Funktion nicht stetig.

Avatar von 3,4 k

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