Untersuchen Sie die folgenden Funktionen auf Stetigkeit.

Question

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Aufgabe

Untersuchen Sie die folgenden Funktionen auf Stetigkeit.
(a) (3 Punkte) \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x^{2} y}{x^{2}+y^{2}}, & \text { falls }(x, y) \neq(0,0), \\ 0, & \text { falls }(x, y)=(0,0) .\end{array}\right. \)
(b) (3 Punkte) \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x^{2} y}{x^{4}+y^{2}}, & \text { falls }(x, y) \neq(0,0), \\ 0, & \text { falls }(x, y)=(0,0) .\end{array}\right. \)

Comments

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Answer 1

Zu (a):

Benutze Polarkoordinaten \(x=r\cos(\varphi),\; y=r\sin(\varphi)\).

Zu (b):

Betrachte das Grenzwertverhalten längs der Kurve \(y=x^2\).

Answer 2

Aloha :)

zu a) Hier würde ich eine Abschätzung mit dem Sandwich-Theorem empfehlen:$$0\le(x-y)^2=x^2-2xy+y^2\implies 2xy\le x^2+y^2\implies xy\le\frac{x^2+y^2}{2}\implies$$$$\frac{xy}{x^2+y^2}\le\frac12\implies-\frac{|x|}{2}\le x\cdot\frac{xy}{x^2+y^2}\le\frac{|x|}{2}\implies-\frac{|x|}{2}\le f(x;y)\le\frac{|x|}{2}\implies$$$$\lim\limits_{(x;y)\to(0;0)}f(x;y)=0=f(0;0)$$Die Funktion \(f(x;y)\) ist daher stetig in \((0;0)\).

zu b) Der Grad des Nennerpolynoms ist höher als der Grad des Zählerpolynoms, daher vermuten wir, dass die Funktion unstetig in \((0;0)\) ist. Um das zu zeigen, reicht es, einen Weg zum Nullpunkt anzugeben, auf dem die Funktion einem anderen Grenzwert als \(f(0;0)=0\) entgegen strebt.

Für den gewählten Weg \(\binom{x}{y}=\binom{t}{t^2}\text{ mit }t\to0\) erhalten wir als Grenzwert:$$\lim\limits_{(x(t);y(t))\to(0;0)}f(x(t);y(t))=\lim\limits_{t\to0}\frac{t^2\cdot t^2}{t^4+(t^2)^2}=\lim\limits_{t\to0}\frac12=\frac12\ne f(0;0)$$Die Funktion ist daher unstetig in \((0;0)\).

Comments

Danke,

aber sollte da nicht stehen die Funktion ist unstetig außerhalb (0,0)

weil die terme die du gezeigt hast sind ja für f(x,y) ungleich (0,0)

LG

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Ich habe nur die Stetigkeit im Punkt \((0;0)\) untersucht. Dazu müssen alle möglichen Wege zu demselben Grenzwert führen und dieser Grenzwert muss gleich dem Funktionswert \(f(0;0)\) sein.

Auf dem gewählten Weg nähere ich mich von außerhalb dem Punkt \((0;0)\) und lande dann bei dem Funktionswert \(\frac12\) und nicht bei dem Funktionswert \(f(0;0)=0\). Daher ist die Funktion unstetig im Punkt \((0;0)\).