Untersuchen Sie die folgenden auf ℝ definierten Funktionen auf Stetigkeit

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie die folgenden auf \( \mathbb{R} \) definierten Funktionen auf Stetigkeit.

(i) \( f_{1}(x)=\left\{\begin{array}{cl}\sin (x) & x \geq 0 \\ \cos \left(x-\frac{\pi}{2}\right) & x<0\end{array}\right. \)

(ii) \( f_{2}(x)=\left\{\begin{array}{cl}|x| & x \geq 0 \\ \frac{x^{2}+1}{x^{2}+x} & x<0\end{array}\right. \)

(iii) \( f_{3}(x)=\left\{\begin{array}{cl}\sin (\ln (|x|)) & x \neq 0 \\ 0 & x=0\end{array}\right. \)

Answer 1

i.)
Die beiden Teilfunktion sind wie bekannt stetig.
Nahtstelle
f ( 0 ) = sin ( 0 ) = 0
f  ( 0 ) = cos ( 0 - pI / 2 ) = 0
Die Funktion ist stetig

ii.)
f ( 0 ) = | 0 |  = 0
f ( 0(-) ) = ( x^2 + 1 ) / ( x^2 + x ) = 1 / ( x * ( x + 1 ) ) = 1 / 0(-) = - ∞

Die Funktion ist nicht stetig

iii.)
Dies könnte falsch sein
0(+)  bzw. 0(-)
| x | = 0(+)
ln ( 0(+) ) = - ∞
sin ( - ∞ ) ist nicht definiert sondern
oszilliert zwischen -1 und +1
Ist aber etwas für Spezialisten.

Comments

Die Funktion
( x² + 1 ) / ( x² + x )
ist auch ] in -∞ ; 0 [ nicht stetig

~plot~ ( x² + 1 ) / ( x² + x ) ; [[ -10 | 10 | -10 | 10 ]] ~plot~

Answer 2

Die Funktion

$$ f_1(x) = \begin{cases} \sin(x)\quad\quad\quad x\ge0\\\cos(x-\frac{\pi}{2})\quad x<0 \end{cases} \quad=\dots = \sin(x) $$

ist sicher stetig!