Stetigkeit von abschnittsweise definierten Funktionen

Question

ich weiß nicht wie ich bei folgender Aufgabe auf den Beweis komme. Soweit ich aber weiß ist die Funktion stetig, da die unstetigen Stellen √2 und -√2 nicht definiert sind (siehe Definitionsmenge). Wie könnte ich da vorgehen?

Comments

Wie könnte ich da vorgehen?

Du kannst beide angegebenen Versionen nehmen.

epsilons-delta oder Folgenkriterium.

Zu einer rationalen Zahl nahe bei √2 findest du immer noch eine rationale Zahl, die näher bei √(2) und auf der gleichen Seite von √(2) liegt.

Answer 1

Du kannst ja so beginnen.

Sei x∈ℚ.  Dann betrachte die Fälle.

1. Fall:   x>√2    . Sei nun ε>0 . Dann wähle δ= (x-√2)/2.

Dann gilt für alle z∈ℚ mit  |x-z| <δ   auch z>√2, also g(z)=g(x)=1

also |g(x)-g(z)|=0 < ε.   Also g stetig bei x.

2. Fall  - √2 <  x < √2

Sei nun ε>0 . Dann wähle δ= (√2  -  |x|)/2 .

Dann gilt für alle z∈ℚ mit  |x-z| <δ   auch

- √2  < z<√2, also g(z)=g(x)=0   also |g(x)-g(z)|=0 < ε.   Also g stetig bei x.

3. Fall analog zu 1.

Und zu den Folgen:  Wenn eine Folge rationaler Zahlen gegen ein x∈Q konvergiert ,

dann ist die Folge der Funktionswerte auch von einem n an konstant.