Question

Differenzierbarkeit und Kontinuität einer abschnittsweise definierten Funktion.

Hallo miteinander! :)

Es sei: f:R≥0→R,
x↦{0, x = 0
    x² sin(1/x), sonst

also f(x) = x² * sin(\( \frac{1}{x} \)), außer f(0) = 0 

Es soll "diskutiert werden ob diese Funktion differenzierbar und 'kontinuierlich' differenzierbar ist" also ob eine Ableitung existiert und ob diese differenzierbar ist.

betrachtet man den Fall f(x) für x != 0 lässt sich mit der Produktregel die Ableitung ermitteln:

f'(x) = 2x * sin(1/x) + x²*cos(1/x) * (-1/x^2)
f'(x) = 2x * sin(1/x) - cos(1(x))

wenn ich mich nicht verrechnet habe.
Es hapert aber eben an dem Übergang bzw diese Argumentation mathematisch sauber zu führen:

f′(0) = lim h->0 \( \frac{f(h) - f(0)}{h} \)
Plottet man den Graphen oszilieren die Funktionswerte immer näher um 0 herum für x → 0 sowohl von links als auch von rechts, die Intuition ist also dass diese abschnittsweise definierte Funktion kontinuierlich sein müsste.

Ich habe etwas rumprobiert und dann auch mal berüchtigte KI tools um Hilfe gebeten und die folgende Argumentation erhalten: (siehe unten)

Text erkannt:

Since \( f(0)=0 \), this simplifies to:
\( f^{\prime}(0)=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{f(h)}{h}=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{h^{2} \sin \left(\frac{1}{h}\right)}{h} \)

This simplifies further to:
\( f^{\prime}(0)=\lim \limits_{h \rightarrow 0} h \sin \left(\frac{1}{h}\right) \)

Since \( \sin \left(\frac{1}{h}\right) \) is bounded between -1 and 1 , we have:
\( -h \leq h \sin \left(\frac{1}{h}\right) \leq h \)

As \( h \rightarrow 0 \), both \( -h \) and \( h \) tend to 0 . By the Squeeze Theorem:
\( \lim \limits_{h \rightarrow 0} h \sin \left(\frac{1}{h}\right)=0 \)

Thus, \( f^{\prime}(0)=0 \).

mir ist nicht geläufig wieso aus f(h), h²sin(1/h) werden darf und wie das mit dem Squeeze Theorem unten gemeint ist. Davon abgesehen. Wäre das geforderte damit gezeigt?

Es geht gar nicht so sehr diese Hausaufgabe abzugeben, wird nicht benotet, sondern mehr ums Verständnis und ein Formalismus zur Anwendbarkeit in der bevorstehenden Klausur :)
Für Tipps und Anregungen bin ich sehr dankbar,

elyminas

Comments

wenn ich mich nicht verrechnet habe.

Hast du nicht.

Zur Ergebniskontrolle:

https://www.ableitungsrechner.net/

Answer 1

Es ist doch alles genau erklärt. Laut Definition deiner Funktion ist doch gerade \(f(h)=h^2\sin\left(\frac{1}{h}\right)\), da \(h\neq 0\). Weiter ist \(f(0)=0\). Damit folgt für den Differenzenquotienten

\(\frac{f(h)-f(0)}{h}=\frac{f(h)}{h}=h\sin\left(\frac{1}{h}\right)\) (auch das steht da alles erläutert).

Das Squeeze Theorem ist im Deutschen als Sandwich-Lemma bekannt. Das sagt aus, dass wenn eine Folge zwischen zwei konvergenten Folgen eingeschlossen wird, die gegen denselben Grenzwert konvergieren, dass dann eben auch diese Folge gegen diesen Grenzwert konvergieren muss, was intuitiv ja auch klar sein sollte. Das wird hier ausgenutzt, indem man den Sinus entsprechend nach oben und unten durch 1 bzw. -1 abschätzt, siehe deine Ausführung oben.

Damit existiert also der Grenzwert des Differenzenquotienten an der Stelle 0 mit \(f'(0)=0\). Du musst jetzt natürlich noch die Stetigkeit der Ableitung nachweisen.

Comments

noch die Stetigkeit der Ableitung nachweisen.

Oder prüfen?

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Stimmt natürlich. Es muss geprüft werden, weil ja nicht klar ist, ob die Ableitung stetig ist. Danke. :)