Bestimme den Grenzwert: lim x- 3 (x^2+(t-2)x-2t)/(x^2+x-12)

Question

Aufgabe:

Bestimme den Grenzwert: lim x->3 (x^2+(t-2)x-2t)/(x^2+x-12)

Problem/Ansatz:

Ich habe die Nullstellen des Nenners, sowie des Zählers berechnet und komme zu folgendem Ergebnis:

wenn t= -3, dann sei der Grenzwert 1/7

Wenn t nicht -3 , dann?

Laut Lösung: Für t ungleich −3 liegt in x=3 eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel vor, der Grenzwert
existiert also nicht. Woher weiß man, dass eine Polstelle mit VZW vorliegt.

Comments

Wir faktorisieren mal Zähler und Nenner

(x^2 + (t - 2)·x - 2·t) / (x^2 + x - 12)
= ((x - 2)·(x + t)) / ((x - 3)·(x + 4))

Eine Polstelle bei x = 3 mit VZW hat man, wenn der Zähler für x = 3 ungleich Null ist und der Nenner für x = 3 eine Nullstelle mit VZW hat.

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https://mathegym.de/mathe/wissen/wie-bestimmt-und-spezifiziert-man-eine-polstelle/324

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Danke, kann jemand einmal diese Regel erläutern?

• f(x)=(p(x))/(q(x))=(p_1 (x)〖(x-x_0)〗^r)/(q_1 (x)〖(x-x_0)〗^s )

Polstelle mit Vorzeichenwechsel, wenn r < s und s – r ungerade, dann existiert kein Grenzwert

Wieso ist die Vielfachheit (im Bsp.) der Nullstelle beim Zähler kleiner als beim Nenner? Jede Nullstelle liegt doch nur einmal vor

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Für \(t\neq -3\) ist \(x=3\) doch keine Nullstelle des Zählers und hat somit die Vielfachheit \(0<1\).

Answer 1

Für \(t\neq -3\) ist die Definitionslücke an der Stelle \(x=3\) nicht behebbar. Also liegt eine Polstelle vor. Dass diese Polstelle einen VZW hat, kann man dann untersuchen, indem man Werte vor und nach der Polstelle betrachtet.