Grenzwert berechnen für (-2x-3x^4)(5x+2x^4). Wie muss die Funktion an der Stelle definiert werden, damit sie stetig ist?

Question

Aufgabe 1:

Grenzwert berechnen:

1a) \( \lim \limits_{x\to \pm \infty }\frac { -2x-3x^4 }{ 5x+2x^4 } \)

1b) \( \lim \limits_{ x \rightarrow+\alpha } \frac{-2 x^{5}}{x^{3}-1} \)

1j) \( \lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{x^{2}-2,25}{x-1} \)

Aufgabe 5:

Wie muss die Funktion \( f(x)=\frac{x+4}{x^{2}-16} \) an der Stelle \( x_{0}=-4 \) definiert werden, damit sie dort stetig ist?

Aufgabe 8:

Gib eine Funktion an, die

a) an der Stelle \( x_{0}=-2 \) definiert ist, aber dort keinen Grenzwert besitzt.

b) an der Stelle \( x_{0}=4 \) einen Pol mit Vorzeichenwechsel (- \( \left./+\right) \) sowie eine waagerechte Asymptote bei \( y=-1 \) hat.

Answer 1

1a)

$$ \lim_{x\to±∞}\frac { -2x-3x^4 }{ 5x+2x^4 } =\lim_{x\to±∞}\frac { x^4(-\frac { 2 }{ x^3 } -3)}{ x^4(\frac { 5 }{ x^3 }+2) }=-\frac { 3 }{ 2 }$$

Klammere die höchste Potenz aus, aslo x^4 und dann lass es gegen Unendlich laufen und dann merkst du, dass -2/3x^3 und 5/x^3 gegen 0 gehen und übrig bleibt -3/2.

Und das machst Du auch gegen Minus Unendlich, wobei da auch -3/2 als Grenzwert herauskommt.

Das gleiche machst auch bei der b) versuch es mal.

Answer 2

Hi, ich mache mal den Anfang von hinten, also 8.b):

Betrachte die Funktion

$$ y = \frac { 1 }{ x }. $$

Sie hat einen Pol bei x=0 und eine waagerechte Asymptote bei y=0.

Mit der Transformation x→(x-4) und y→(y+1) wird daraus

$$ \left(y+1\right) = \frac { 1 }{ \left(x-4\right) } $$

bzw.

$$ y = \frac { 1 }{ x-4 }-1. $$

Sie hat einen Pol bei x=4 und eine waagerechte Asymptote bei y=−1.

Answer 3

Aufgabe (j) $$ \frac{x^2-2.25}{x-1}=\frac{(x-\frac{3}{2})(x+\frac{3}{2})}{x-1} $$
Daraus sieht man das für \( \lim_{x\to 1^-} \) gegen \( +\infty \) und für  \( \lim_{x\to 1^+} \) gegen \( -\infty \)

Aufgabe (5)
Zerlege den Nenner in \( (x+4)(x-4) \) dann kannst Du kürzen.

Comments

wo kommen die 3/2 her ? bzw. wie werden aus denn 2.25 die 1,5 ?

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$$ 2.25=\left( \frac{3}{2} \right)^2 $$

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das müsste dann heißen das x≠-4 sein muss oder? 

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Das eigentlich nicht. Du musst ja gerade den Wert der Funktion \( f(x) \) für \( x=-4 \) so bestimmen, dass \( f(x) \) an der Stelle \( x=-4 \) stetig ist.
Nach dem kürzen ergibt sich
$$ f(x)=\frac{1}{x-4} $$ Nun kannst Du \( -4 \) einsetzten und das ist der Wert den die Funktion \( f(x) \)annehmen muss, damit sie stetig wird.

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das heißt dann 1/-4-4= - 1/8

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Wenn Du die Klammern noch richtig setzt, dann ist das Ergebnis ok.

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Ok und wie schreib ich das korrekt auf ? ;)

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$$ f(x)=\frac{x+4}{x^2-16} \text{ wenn } x\ne -4 \text{ und } f(x)=-\frac{1}{8} \text{wenn} x=-4$$