Definitionslücken f(x) = (x^4+3x^3-3x^2-11x-6)/(x^3-x^2-8x+12)

Question

Ich muss die Funktion auf Definitionslücken überprüfen:

$$f(x) = \frac{x^{4}+3x^{3}-3x^{2}-11x-6}{x^{3}-x^{2}-8x+12}$$

Heraus habe ich durch doppeltes Anwenden der Polynomdivision die Nullstellen: -1, -3, 2

Da aber -3 und 2 im Nenner 0 ergibt, sind diese nicht erlaubt bzw. sind Definitionslücken.

Somit lautet der Definitionsbereich D = R \ { -3; 2 }

Um die Art herauszubekommen (Polstelle oder stetig behebbare Definitionslücke) setze ich diese beiden Zahlen jeweils in den Zähler ein und bei != 0 ist dort eine Polstelle:

$$Z(-3) = -3^{4}+3*(-3)^{3}-3*(-3)^{2}-11*(-3)-6 = -108$$ ->> ungleich 0 ->> Polstelle

Nun weiss ich nicht wie ich rechnerisch die Grenzwertbetrachtung schreiben soll um die möglichen Vorzeichenwechsel anzugeben. Zudem kommt bei Z(2) = 0 heraus, was eine hebbare Definitionslücke ist, korrekt?

Answer 1

Der Funktionsterm hat im Zähler und im Nenner die Nullstellen 2 und -3. Aber x=2 ist doppelte Nullstelle. Also ist nur x=-3 hebbare Definitionslücke.

Comments

~plot~ (x^4+3x^3-3x^2-11x-6)/(x^3-x^2-8x+12); ~plot~

an x = 2 ist hier eine Polstelle. Jetzt bin ich verwirrt.

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x = -3 ist hebbare Definitionslücke, also bleibt x=2 einzige Polstelle.

Answer 2

z(x) = x^4 + 3·x^3 - 3·x^2 - 11·x - 6 = (x - 2)·(x + 3)·(x + 1)^2

n(x) = x^3 - x^2 - 8·x + 12 = (x + 3)·(x - 2)^2

damit hast du nach einer stetigen Ergänzung

f(x) = (x - 2)·(x + 3)·(x + 1)^2/((x + 3)·(x - 2)^2) = (x + 1)^2/(x - 2)

Hiermit machst du jetzt auch die Grenzwertbetrachtung oder machst zuerst eine Polynomdivision

f(x) = (x + 1)^2/(x - 2) = (x^2 + 2·x + 1)/(x - 2) = x + 4 + 9/(x - 2)

Hier könntest du jtzt die schräge Asymptote ablesen und das verhalten an den Grenzen des Definitionsbereiches.

Skizze:

~plot~ x+4+9/(x-2);x+4;x=2;[[-12|12|-4|16]] ~plot~