Definitionslücken von f(x)=((x^2 - 1)·(x + 2)·(x + 1)) / ((x - 1)·(4 + 2·x)·(x - 2)) stetig hebbar?

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion f(x)=\( \dfrac{ (x^2−1)(x+2)(x+1)}{(x−1)(4+2x)(x−2) } \)

Untersuchen Sie die Funktion auf Nullstellen, Lücken, Polstellen. Geben Sie den
Definitions- und Wertebereich sowie das Verhalten für IxI → ∞ an. Skizzieren Sie
den Verlauf der Funktion.

Problem/Ansatz:

ich habe soweit alles Verstanden nur wie kann ich herausfinden wie ich die Lücken beheben kann?

In den Lösungen steht

Lücken
bei 1 (hebbar durch (-2) ) und bei (-2) (hebbar durch
-1/8 );

Was muss ich machen um auf diese Werte zum beheben der Lücke zu kommen ich finde weder etwas im Papula noch im Internet.

Comments

"stetig" in der Überschrift ergänzt.

Die Begriffe stetig und hebbar gehören eng zusammen. Verwende sie, wenn immer möglich, zusammen. https://de.wikipedia.org/wiki/Definitionslücke#Stetig_hebbare_Definitionslücke

https://de.wikipedia.org/wiki/Definitionslücke#Weitere_Arten_von_Definitionslücken

Answer 1

Hallo

 im Zähler steht mit x^2-1=(x+1)*(x-1)  im Nenner steht mit 4+2x=2*(x+2)

d.h. du kannst für alle x≠-1 durch x+1 kürzen, für alle x≠-2 durch x+2 kürzen, deshalb sind die Lücken an diesen Stellen durch den gekürzten Funktionswert schließbar. Allgemein bei Polynomen in Z und N kann man gemeinsame Nullstellen rausstürzen und so diese Lücken schließen, an denen sonst wegen 0/0 die fit nicht definiert ist.

Gruß lul