Aloha :)
Hier bietet es sich an, den Funktionsterm zu faktorisieren.$$f(x)=\frac{x^4-4x^3+3x^2+4x-4}{x^3-3x-2}$$Im Zähler gruppieren wir die Summanden nach geraden und ungeraden Exponenten von \(x\) und können dann faktorisieren:$$x^4-4x^3+3x^2+4x-4=(x^4+3x^2-4)+(-4x^3+4x)$$$$\qquad=(x^2+4)(x^2-1)-4x(x^2-1)=(x^4+4-4x)(x^2-1)=(x-2)^2(x^2-1)$$Im Nenner erraten wir eine Nullstelle bei \(x=2\), das heißt, der Nenner enthält den Linearfaktor \((x-2)\). Den müssen wir ausklammern können:$$x^3-3x-2=x^3\,\underbrace{-2x^2+2x^2}_{=0}\,\,\underbrace{-4x+x}_{=-3x}-2=(x^3-2x^2)+(2x^2-4x)+(x-2)$$$$\qquad=x^2(x-2)+2x(x-2)+1\cdot(x-2)=(x^2+2x+1)(x-2)=(x+1)^2(x-2)$$
Definitionsmenge
Damit haben wir den Funktionsterm vollständig faktorisiert:$$f(x)=\frac{(x-2)^2(x+1)(x-1)}{(x+1)^2(x-2)}$$Die Definitionslücken sind die Nullstellen des Nenners, also müssen wir \((-1)\) und \(2\) ausschließen. Die Definitionsmenge lautet also:$$D=\mathbb R\setminus\{-1;2\}$$
Nullstellen
Die Nullstellen des Zählers sind \((-1)\), \(1\) und \(2\). Da aber \((-1)\) und \(2\) wegen des Nenners nicht zur Definitionsmenge gehören, bleibt nur eine Nullstelle bei \(x=1\) übrig.
Lücken und Polstellen
Es fällt auf, dass wir \((x-2)\) und \((x+1)\) kürzen können:$$\tilde f(x)=\frac{(x-2)(x-1)}{(x+1)}$$In der gekürzten Version wird der Nenner für \(x=2\) nicht mehr zu \(0\), also liegt bei \(x=2\) eine (be)hebbare Lücke vor. Für \(x=-1\) bleibt der Nenner weiterhin \(0\), also liegt dort eine Polstelle vor.
