Gebrochenrationale Funktion?

Question

Aufgabe:

bei einer gebrochenrqtionalen funktion f(x)=z(x)/n(x) sei an der stelle x0 der zähler und gleichzeitig der nenner 0 d.h z(x0)=0, n(x0)=0

Ordnen sie zu

1 an der stelle xo ist die nullstellenordnung von z höher als die nullstellenordnung von n

2 an der stelle xo ist die nullstellenordnung von z niedriger als die nullstellenordnung von n

3 an der stelle xo ist die nullstellenordnung von z gleich der nullstellenordnung von n

A polstelle

B hebbare unstetigkeit mit grenzwert 0, f(x0)=0 wäre eine stetige ergänzung

C hebbare unstetigkeit mit grenzwert ungleich 0

Problem/Ansatz:

Answer 1

Ich würde das so zuordnen

1 an der stelle xo ist die nullstellenordnung von z höher als die nullstellenordnung von n
B hebbare unstetigkeit mit grenzwert 0, f(x0)=0 wäre eine stetige ergänzung

2 an der stelle xo ist die nullstellenordnung von z niedriger als die nullstellenordnung von n
A polstelle

3 an der stelle xo ist die nullstellenordnung von z gleich der nullstellenordnung von n
C hebbare unstetigkeit mit grenzwert ungleich 0

Denk du dir mal Beispiele aus und versuche das zu verifizieren.

Answer 2

Wähle f(x)=x(x-2)(x-1)/(x(x-3)). Dann ist dies eine gebrochenrqtionale Funktion f(x)=z(x)/n(x), bei der an der Stelle x₀=0 der Zähler und gleichzeitig der Nenner 0 ist.

A) Polstelle

In diesem Falle bei x=3

B) hebbare Unstetigkeit mit Grenzwert 0, f(x₀)=0 wäre eine stetige Ergänzung

Ist f(x₀)=0 eine zusätzliche Bedingung? Dann ist diese hier nicht erfüllt. Aber die Unstetigkeit an der Stell x₀=0 ist hebbar.

C) hebbare Unstetigkeit mit Grenzwert ungleich 0

Dies ist hier der Fall.