Wie wird in diesem Fall der Term der gebrochen rationalen Funktion bestimmt?

Question

Aufgabe:

Der Term einer gebrochen rationalen Funktion, definiert in R\{2}, soll bestimmt werden.

Die Polstelle bei x=2 ist eine ohne Vorzeichenwechsel. Der Graph der Funktion besitzt die schräge Asymptote y= x-7.

Die Funktion läuft durch den Punkt P (12|5,5).

Problem/Ansatz:

Ich versuche seit längerer Zeit vergebens, wie ich nur anhand dieser Informationen den Funktionsterm der gebrochen rationalen Funktion bestimmen soll.
Ich habe verschiedene Ansätze, komme jedoch nicht auf ein sinnvolles Ergebnis.

Für mich ist die Aufgabe nicht lösbar. Allein schon, dass der Zähler- und Nennergrad nicht bekannt ist, außer ZG = NG + 1.

Habe ich wohl etwas übersehen, kann mir da jemand weiterhelfen?
Danke!

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Answer 1

Versuch mal $$y(x) = x-7 + \dfrac{a}{(x-2)^2}.$$ Die Polstelle ist durch den Linearfaktor \(x-2\) im Nenner gesichert, der nichtvorhandene Vorzeichenwechsel dort wird durch den geraden Exponenten erreicht und der ganzrationale Anteil liefert die schräge Asymptote. Nun muss man noch versuchen, ein passendes \(a\) zu finden.

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Ach so, das ergibt Sinn. Vielen Dank! a sollte dann 50 sein.
Den Nenner hatte ich auch so, habe dann aber probiert, durch Einsetzen des Punktes die Funktion zu ermitteln und habe als allgemeinen Ansatz folgende Funktion aufgestellt, hatte aber bereits dabei meine Zweifel:

g(x)=(a(x-x₁)³)/(a(x-2)²)

Ich wollte sozusagen über Linearfaktoren und Punkt-Einsezten zum Ziel kommen.

Was ich jedoch noch nicht verstehe: Ich könnte doch im Nenner genauso gut (x-2)⁴ stehen haben und habe trotzdem keinen Vorzeichenwechsel. Dieses Problem hatte ich nämlich auch bei meinem Ansatz oben, weil ich unterstellt habe, dass die Funktion im Zähler eine dritten Grades mit einer (dreifachen) Nullstelle ist und die Funktion im Zähler eine zweiten Grades.

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Ich weiß nicht, ob mein Vorschlag zum Ziel führt, ich habe nur ein paar Überlegungen mitgeteilt, mit welchem Ansatz ich anfangen würde. Im Nenner des echt rationalen Teils könnte natürlich auch \((x-2)^4\) stehen. Vielleicht reicht auch eine Konstante im Zähler nicht aus.

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~plot~ x-7+50/(x-2)^2;x-7;x=2;{12|5.5};[[-16|16|-12|12]] ~plot~

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Was ich jedoch noch nicht verstehe: Ich könnte doch im Nenner genauso gut (x-2)^4 stehen haben und habe trotzdem keinen Vorzeichenwechsel.

Das ist richtig. Es gibt hier also offensichtlich unendlich viele solcher Funktionen.

Du sollst nur den Term einer dieser Funktion bestimmen.

Übrigens ist der Term nur die rechte Seite der Funktionsgleichung.