Gebrochen-rationale Funktion f(x) = (x^3 (x+1)^2) / ((x-4)^2 (x+4)^2 (x-3)) skizzieren

Question

Die angegebene Funktion lautet:

[x³ (x+1)²]÷ [(x-4)² (x+4)² (x-3)]

Die Nullstellen wären ja dann:

x=0 mit VZW

x=-1 ohne VZW

Polstellen bzw. senkrechte Asymptoten:

x=4 ohne VZW

x=-4 ohne VZW

x=3 mit VZW

Grenzwert:

lim  f (x)=1 ⬅bin ich mir nicht sicher?!

x→+∞

Wie skizziere ich nun den Graphen?

Danke schonmal für alle Hilfe.

Answer 1

Die angegebene Funktion lautet:

[x^{3} (x+1)^{2}] / [(x-4)^{2} (x+4)^{2} (x-3)]

Die Nullstellen wären ja dann:

x=0 mit VZW

x=-1 ohne VZW

Polstellen bzw. senkrechte Asymptoten:

x=4 ohne VZW

x=-4 ohne VZW

x=3 mit VZW

Grenzwert:

lim  f (x)=1 ⬅bin ich mir nicht sicher?!  Richtig. Relevant ist oben und unten
                                                                 schlussendlich x^5. x^5/x^5 =    1. ==> Stimmt. 

x→+∞
und auch x→-∞

Somit ist y = 1 eine waagrechte Asymptote.

Zeichne erst mal alle Asymptoten und Nullstellen ein. Anmerkung: Die beiden Nullstellen selbstverständlich nicht mit dem gleichen Buchstaben anschreiben! 

~plot~ (x^3 (x+1)^2) / ((x-4)^2 (x+4)^2 (x-3));[[-10|10|-50|50]] ;1;x=4;x=-4;x=3;{0|0};{-1|0}; ~plot~

Sieht gerade mal so aus wie oben. Nun überlegst du dir, auf welcher Seite der x-Achse der Graph zwischen x=3 und x = 4 verlaufen muss. (mit und ohne VZW).

[spoiler]

Zur Kontrolle mal noch https://www.wolframalpha.com/input/?i=(x%5E3+(x%2B1)%5E2)+%2F+((x-4)%5E2+(x%2B4)%5E2+(x-3)) anschauen.