Gebrochenrationale Funktionsgleichung aufstellen

Question

Aufgabe: Es soll eine möglichst einfache gebrochen rationale Funktionsgleichung in der Form f(x)= p(x) / q(x) entwickelt werden, deren Graph bei links- UND rechtsseitiger Annährung an x=1 gegen +∞ strebt und bei x=2 eine behebbare Definitionslücke hat.

Entwickeln Sie die Funktionsgleichung dazu.

Problem:

Mein Ansatz ist, dass ich im Nenner irgendwas mit (x-2) haben muss, damit eine Definitionslücke entsteht. Wie kann ich danach weitermachen. Wie bringe ich die Polstelle in die Gleichung? Ich habe ja keinen expliziten Punkt der Funktion gegeben.

Comments

f ( x ) = ( x-2) / [ (x-2)*(x-1)^2 ]
D = ℝ \ { 2 ; 1 }

Im Def-Bereich D = ℝ \ { 1 } darf gekürzt
werden zu
f ^* ( x ) = 1 / (x-1)^2

Polstelle x = 1
lim x -> 1(+) [ 1 / ( x-1) ^2 ] = 1 / (1(+) - 1 )^2
= 1 / 0(+) = + ∞
lim x -> 1(-) [ 1 / ( x-1) ^2 ] = 1 / (1(-) - 1 )^2
= 1 / 0(+) = + ∞

Answer 1

Hi,

eine "Hebbare" Definitionslücke fordert, dass Du sie kürzen kannst. Damit brauchst Du ein (x-2) auch im Zähler.

x = 1 mit eine Annährung an +∞ haben wir nichts anderes als eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel. Das heißt wir müssen durch die Vielfachheit der Polstelle sicherstellen, dass sie das Vorzeichen nicht wechselt. Diese Vielfachheit muss einfach gerade sein.

Damit ergibt sich folgendes Konstrukt:

$$f(x) = \frac{x-2}{(x-2)(x-1)^2}$$

Nun bleibt noch zu überprüfen, ob wir bei x = 1 tatsächlich gegen +∞ gehen. Dazu können wir x-2 kürzen und eine Punktprobe bei x = 0 machen. Hier ist f(x)>0. Da wir keine Nullstelle haben, wird f(x)>0 immer größer sein und damit bei x = 1 wie gewünscht streben :).

Grüße

Comments

Danke.

Wie sieht das bei der Funktion mit dem Definitionsbereich aus?

x∈ℝ; x≠2 Aber ist die Funktion für x=1 definiert? Da müsste der y-Wert ja unendlich sein. Oder darf x nicht den Wert 1 haben?

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Durch 0 darf nicht dividiert werden. Das ist für x = 2 und x = 1 der Fall. Du musst sie also aus dem Definitionsbereich entfernen ;).