Ordnung von Gruppenelementen, Zyklische Gruppen

Question

Aufgabe:

(G,∗) ist eine Gruppe mit , e ∈ G als neutrales Element und n ∈ N.

Ein g ∈ G mit gⁿ =e̸=g^k für alle k∈{1,2,...,n−1} hat die Ordnung n.

(a) Zeigen Sie für g ∈ G, dass g dann die Ordnung n hat, wenn gⁿ = e ist und die Elemente g^k mit k∈{1,2,...,n−1,n}alle verschieden sind
(b) Zeigen Sie, dass (G, ∗ ) dann zyklisch von der Ordnung n ist, wenn |G| = n gilt und es in G ein Element von der Ordnung n gibt.

Problem/Ansatz:

Es geht ja um Ordnung von Gruppen allerdings habe ich bei dieser Aufgabe nicht mal einen Ansatz wie ich vorgehen könnte.

Wenn vielleicht jemand für mich Tipps hätte wäre das mega lieb! :)

Danke Schonmal im Voraus

Text erkannt:

Es seien \( (\mathrm{G}, *) \) eine Gruppe, \( \mathrm{e} \in \mathrm{G} \) ihr neutrales Element und \( \mathrm{n} \in \mathrm{N} . \) Ein \( \mathrm{g} \in \mathrm{G} \) mit \( \mathrm{g}^{\mathrm{n}}=\phi=\mathrm{g}^{\mathrm{k}} \) für alle \( \mathrm{k} \in\{1,2, \ldots, \mathrm{n}-1\} \) hat Ordnung \( \mathrm{n} \).
1. (a) Zeigen Sie für \( g \in G \), dass \( g \) genau dann Ordnung \( n \) hat, wenn \( g^{n}=e \) ist und die Elemente \( \mathrm{g}^{\mathrm{k}} \) mit \( k \in\{1,2, \ldots, \mathrm{n}-1, \mathrm{n}\} \) alle verschieden sind(wobei letzteres bedeutet, dass für \( \mathrm{k}, \mathrm{l} \in\{1,2, \ldots, \mathrm{n}-1, \mathrm{n}\} \) mit \( \mathrm{k} /=1 \) immer \( \mathrm{g}^{\mathrm{k}}=\mathrm{g}^{\mathrm{l}} \) gilt .
2. (b) Zeigen Sie, dass \( (\mathrm{G}, *) \) genau dann zyklisch von Ordnung \( \mathrm{n} \) ist, wenn \( |\mathrm{G}|=\mathrm{n} \) gilt und es in G ein Element der Ordnung n gibt.

Answer 1

(a) Ist \(g^p = g^q\) für \(1 \leq p \leq q \leq n-1\), dann ist \(g^{q-p}=e\)  und \(q-p < n\).

(b) Ist \(|G| = n\) und \(g\in G\) mit \(\operatorname{Ordnung} g = n\), dann ist \(\left\{g^k \in G | k\in \{1,\dots,n\}\right\} = G\) wegen (a).