Ich muss alle gruppen mit 4 elementen bestimmen bis auf Isomorphie und brauche Hilfe bei meiner Beweisführung:
$$ \text{ Sei } G:=(a,b,c,d) \text{ Eine Gruppe mit 4 verschiedenen Elementen} \\\text{Zu zeigen:}\\ \text{ (G, }\circ \text{) }\text{ heißt eine Gruppe, folgendes gilt:}\\ \text{ (1) Assoziativgesetz: } (a \circ b \circ c) \circ d \Longleftrightarrow a\circ (b\circ c \circ d) | \forall a,b,c,d \in G \\\text{ (2) Es gibt ein neutrales Element: } e\in G | [x\circ e=e \circ x=x ] \\\text{ (3) Zu jedem } a\in G, \exists b\in G[a \circ b=e \Longleftrightarrow b\circ a=e] \\[50pt] \\ \text{ (2) } \\ \text{Zu zeigen, dass die Gruppe G genau ein neutrales Element enthällt.} \\[10pt] \text{Seien } e_1, e_2 \in G |e_1 \text{ das neutrale Element } \land e_2 \text{ ein Element welche die Eigenschaften des neutralen Elements ebenfalls erfüllt. Dann gilt: } \\ e_2=e_2\circ e_1 \land e_1=e_2\circ e_1 \Longrightarrow e_1=e_1\circ e_2=e_2 \Longrightarrow e_1=e_2 \\ \text{ Annahme es gäbe ein weiteres Element, welches die Eigenschaften des neutralen Elements erfüllt ist falsch. } \\\text{Somit ist die Eindeutigkeit des neutralen Elementes bewiesen. }\blacksquare \\ \\ e\in G \\ \\a:=e \Longrightarrow G:=(e,b,c,d) \\ \\[10pt] \text{ (3)} \\\text{ Zu zeigen dass die Gruppe G genau ein Inverses Element enthällt} \\\text{ Angenommen: } \exists b,c \in G \text{ mit } [a\circ b= e = b \circ a \land a \circ c= e= c\circ a] \\\Longrightarrow b=e \circ b= (c \circ a) \circ b= c \circ (a \circ b)= c\circ e=c \\\text{ Annahme es gäbe ein weiteres Element, welches die Eigenschaften des inversen Elements erfüllt ist falsch} \\\text{Somit ist die Eindeutigkeit des inversen Elementes bewiesen. }\blacksquare \\ x^{-1} \in G \\ b:= x^{-1} \Longrightarrow G:=(e,x^{-1},c,d) \\[10pt] \text{ (1)???}$$
Laut https://de.wikipedia.org/wiki/Liste_kleiner_Gruppen gibt es 2 Gruppen der Ordnung 4. Wie zeige ich dies aber? Offensichtlich muss ich dies aus der Assoziativität mithilfe von Fallunterscheidung ableiten, jedoch verstehe ich nicht wie ich dies machen soll.
