Wie viele abelsche Gruppen der Ordnung 3920 gibt es (bis auf Isomorphie)?

Question

Aufgabe:

Wie viele abelsche Gruppen der Ordnung 3920 gibt es (bis auf Isomorphie)? Gib für jede Isomorphieklasse einen Vertreter an, sowohl in der Form der Elementarteiler als auch in der Form der Primfaktorzerlegung.

Problem/Ansatz:

Die Primfaktorzerlegung ist ja 3920 = 2^4*5*7^2, also gibt es insgesamt 4*1*2 Gruppen der Ordnung 3920 (Möglichkeit der Aufteilung der Primzahlpotenzen)?

Man kann ja mit dem Chinesischen Restsatz die Gruppe $$G \cong \mathbb{Z}/3920\mathbb{Z}$$ in z.B. $$\cong \mathbb{Z}/16\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}/49\mathbb{Z}$$ zerlegen, da ggT(16,5,49)=1. Alle weitere Zerlegungen von 3920 in Teilerfremde Faktoren würden ja Isomorphien der selben Klasse bilden, wenn ich es so richtig verstanden habe. Sind dann die anderen Isomorphieklassen die Zerlegung in nicht-teilfremde Faktoren? z.B: $$\mathbb{Z}/2\oplus\mathbb{Z}/8 \mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}/49\mathbb{Z}$$ als eine Isomorphieklasse und $$\mathbb{Z}/2\oplus\mathbb{Z}/2 \mathbb{Z} \oplus\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}/49\mathbb{Z}$$ als eine weitere, die ja nach Chinesischem Restsatz nicht Isomorph zur vorherigen ist? Wenn ja, was sind dann weitere Elemente der jeweiligen Klassen und wie mache ich dann mit der Elementarteilerzerlegung weiter?

Answer 1

also gibt es insgesamt 4*1*2 Gruppen der Ordnung 3920

Da bin ich zu einem anderen Ergebnis gekommen:

\(3920=2^4\times 5 \times 7^2\).

\(4\) hat die additiven Zerlegungen:

\(4, \; 3+1,\; 2+2, \; 2+1+1, \; 1+1+1+1\). Das sind 5 Zerlegungen.

\(2\) hat die additiven Zerlegungen:

\(2, \; 1+1\). Das sind 2 Zerlegungen.

Insgesamt gibt dies \(5\cdot 1\cdot 2=10\)

paarweise nicht isomorphe abelsche Gruppen

der Ordnung 3920.