Wie löst man z^2 + 2(1+i)z - 5(1-2i)/5?

Question

Aufgabe: Komplexe Zahlen und Perfect square Gleichung lösen

Problem/Ansatz:

Im ersten Schritt habe ich versucht den Bruch zu erweitern: (1-2i)/(1-2i) dadurch erhalte ich 5(2-i)/ 5, aber danach weiss ich nicht weiter. Es heisst ich soll mittels dem "perfect square" berechen, aber verstehe nicht, was genau damit gemeint ist.

Das ist ihre Lösung: warum wird (1+i)^2 gerechnet? Woher kommt das? Warum darf man das?

Text erkannt:

\( z^{2}+2(1+i) z+(1+i)^{2}-\frac{5(1-2 i)}{5}-(1+i)^{2}=0 \)

Text erkannt:

\( [z+(1+i)]^{2}-(1-2 i)-2 i=0 \quad \Leftrightarrow \quad[z+(1+i)]^{2}=1 \)

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Wir stellen zuerst die Gleichung etwas um:$$z^2+2(i+1)z=\frac{5}{1+2i}$$

Nun rufen wir uns die erste binomische Formel in Erinnerung:$$(\red a+\green b)^2=\red a^2+2\cdot \red a\cdot \green b+\green b^2$$und erkennen folgenden Zusammenhang mit der zu lösenden Gleichung:$$\underbrace{\red z^2}_{=\red a^2}+2\cdot\underbrace{\green{(i+1)}}_{=\green b}\cdot\underbrace{\red z}_{=\red a}=\frac{5}{1+2i}$$

Wenn wir nun auf beiden Seiten der Gleichung \(\green{b}^2=\green{(i+1)}^2\) addieren$$\underbrace{\red z^2}_{=\red a^2}+2\cdot\underbrace{\green{(i+1)}}_{=\green b}\cdot\underbrace{\red z}_{=\red a}+\underbrace{\green{(i+1)}^2}_{=\green b^2}=\frac{5}{1+2i}+\green{(i+1)}^2$$erkennst du, dass wir links die binomische Formel "rückwärts" anwenden können:$$\left(\red z+\green{(i+1)}\right)^2=\frac{5}{1+2i}+(i+1)^2$$

Bei einer quadratischen Gleichung nennt man den addierten grünen Term die "quadratische Ergänzung" (zur binomischen Formel).

Answer 2

Quadratische Ergänzung.

Answer 3

\(z^2+2*(i+1)z=\frac{5}{1+2i}\)

\(z^2+2*(i+1)z=\frac{5*(1-2i)}{(1+2i)*(1-2i)}=\frac{5-10i}{1-4i^2}=\frac{5-10i}{5}=1-2i\)

\((z+(i+1))^2=1-2i+(i+1))^2=1-2i+i^2+2i+1=1\)

1.)

\(z+(i+1)=1\)

\(z_1=-i\)

2.) \(z+(i+1)=-1\)

\(z_2=-2-i\)