Komplexe Zahlen, umformen: z = (-2 + 2i)^7 / (1+√3 i)^5

Question

Es sei z = (-2 + 2i)⁷ / (1+√3 i)⁵

 

(a) Geben Sie z in der Form |z| (cos(φ) + i sin(φ)) mit φ=arg(z) an.

(b) Behandeln Sie den Nenner und Zähler von z zunächst getrennt und geben Sie z in der Form (a+bi) / (c+di) an. Ermitteln sie daraus Re(z) und Im(z).



Bei der (a) hänge ich leider an den potenzen von 7 und 5, da weiß ich nicht, wie ich die mit in die form rein bekomme.
und bei (b) auch. die formen sind mir beide bekannt. (b) noch besser wie (a), aber die potenzen bringen mich zum verzweifeln.

Hoffe mir kann jemand helfen.


 

Answer 1

Hier mal Schrittweise das Vorgehen bei der Umformung des Zählers. 

 (-2 + 2i)⁷

= ( √8 (cos (3π/4) + i sin(3π/4)) ^7

=  (2 √2 (cos (3π/4) + i sin(3π/4)) ^7

=  ( 2^7 √2^7 (cos (7*3π/4) + i sin(7*3π/4))

= 2^7 *2^3*√2 (  cos( 21π/4) + i sin(21π/4)

= 2^10 * √2 ( cos(5π/4) + i sin(5π/4))

= 1024*√2 ( -1/√2 + i (-1/√2))

= 1024 ( -1 -i)

= -1024 - 1024 i

Ich hoffe, dass du das soweit nachvollziehen kannst und dann den Nenner selbst umformen kannst.

Kontrolliere dein Resultat dann auch mit 

https://www.wolframalpha.com/input/?i=+%28-2+%2B+2i%29%5E7

Die verwendeten Rechenregeln ergeben sich aus den Regeln für die Multiplikation der Zahlen in trigonometrischer Form: vgl: https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl#Trigonometrische_Form

Comments

habe bisschen gebraucht.. aber inzwischen hab ichs raus..
bis auf das 3π/4. das ist ja das arg(z). wie rechnest du das aus?

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hat sich soeben von selbst erklärt :D
hatte immer - π/4 raus. is ja egal.

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Vorsicht:

3pi/4 zeigt in den 2. Quadranten

-pi/4 in den 4. Quadranten.

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hi,

ich hätte eine Frage-

wie kommt man denn von

= 2^7 *2^3*√2 (  cos( 21π/4) + i sin(21π/4)

auf?

= 2^10 * √2 ( cos(5π/4) + i sin(5π/4))

Also der Term vor der Klammer ist klar,

aber warum erst 21pi/4 und dann aufeinmal 5pi/4?

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die 21π/4 kommen durch das potenzieren zustande. wegen der periodizität der kosinusfunktion ist cos(21π/4) = cos(5π/4 + 16π/4) = cos(5π/4 + 2*2π) = cos(5π/4 + 2kπ), k∈ℤ. mit k=0 ist dann cos(5π/4 + 2kπ) = cos(5π/4).