Komplexe Zahlen: Bruch vereinfachen von (1+2i)^2 / (2+3i) zu 6/13 + 17/13 i?

Question

\( \dfrac{(1+2 i)^{2}}{2+3 i}=\dfrac{6}{13}+\dfrac{17}{13} i \)

Wie löse ich diese Komplexe Zahl? Ich komme nicht auf die Lösung, muss man wenn man im Zähler Quadriert die i belassen? Würde mich auf einen Rechenweg freuen!

Answer 1

Ganz ausführlich:

$$\frac { (1+2i)^{ 2 } }{ 2+3i }$$$$=\frac { (1+2i)(1+2i) }{ 2+3i }$$$$=\frac { 1+2i+2i+(2i)^{ 2 } }{ 2+3i }$$$$=\frac { 1+4i+4i^{ 2 } }{ 2+3i }$$Es gilt: i² = - 1 , also:$$=\frac { 1+4i-4 }{ 2+3i }$$$$=\frac { -3+4i }{ 2+3i }$$Den Bruch mit der konjugiert Komplexen des Nenners erweitern, dadurch wird der Nenner rational:$$=\frac { (-3+4i)(2-3i) }{ (2+3i)(2-3i) }$$$$=\frac { -6+9i+8i-12i^{ 2 } }{ 4-6i+6i-9{ i }^{ 2 } }$$$$=\frac { -6+9i+8i+12 }{ 4-6i+6i+9 }$$$$=\frac { 6+17i }{ 13 }$$$$=\frac { 6 }{ 13 } +\frac { 17 }{ 13 } i$$

Answer 2

(1 + 2·i)^2 / (2 + 3·i)

= (4·i - 3) / (2 + 3·i)

= (4·i - 3)·(2 - 3·i) / ((2 + 3·i)·(2 - 3·i))

= (17·i + 6) / 13

= 17/13·i + 6/13