Max. Existenzintervall, DGL

Question

Aufgabe:

Hallo, ich muss zur folgenden DGL das max. Existenzintervall bestimmen.

AB y(0)=0

y'=e^y * sin(x)

als Lösung bekomm ich y= - ln (cosx) raus. Ich glaub das stimmt ja oder?

Aber wie bestimme ich das Existenzintervall, ich weiß, dass das eigentlich der Defintionsbereich der Lösung mit der AB ist, aber wie kann ich das bestimmen (sorry für die Frage, aber ich bin aus meinem Skript nicht schlau geworden)

Vielen Dank im Voraus,

liebe Grüße
Problem/Ansatz:

Answer 1

Hallo,

als Lösung bekomm ich y= - ln (cosx) raus. Ich glaub das stimmt ja oder? -->JA

y'=e^y * sin(x)

dy/dx = e^y * sin(x)

dy/e^y = sin(x) dx

- e^(-y) =-cos(x) +C |*(-1)

e^(-y) =cos(x)  -C

e^(y) =1/( cos(x) -C)

y= - ln(cos(x)-C)

AWB: y(0)=0

0= - ln(cos(0)-C) ,cos(0)=1

0= - ln(1-C)

C=0

-->y= - ln(cos(x))

Aber wie bestimme ich das Existenzintervall, ich weiß, dass das eigentlich der Definitionsbereich der Lösung mit der AB ist ->JA

Das Argument, also die innere Funktion, muss Werte größer als 0 liefern, damit man den Logarithmus ausführen kann.

Es muß cos(x) > 0 sein.

\( -\frac{\pi}{2}+2 \pi n<x<\frac{\pi}{2}+2 \pi n \) , x∈ R , n∈Z