Können 2 Gruppen Isomorph sein, wobei die erste keinen Erzeuger und die zweite einen Erzeuger hat?

Question

Frage:

Können 2 Gruppen Isomorph sein, wobei die erste keinen Erzeuger und die zweite einen Erzeuger hat?

Ich gehe davon aus, dass sie nicht Isomorph sein können, möchte aber sicher gehen.

Answer 1

Seien \((G,\circ)\) und \((H,\bullet)\) Gruppen.

Sei \(f:G\to H\) ein Gruppenisomorphismus zwischen \((G,\circ)\) und \((H,\bullet)\).

Sei \(g\in G\) ein Erzeuger von \((G,\circ)\).

Sei \(h\in H\).

Sei \(g'\in G\) mit \(f(g') = h\).

Wegen \(g'=\dots\) ist \(h = \dots\).

Comments

Das hilft mir leider nicht wirklich. Ich brauche nur die Information, ob die Aussage wahr oder falsch ist, ich muss sie nicht beweisen ( / sie zu beweisen würde aktuell vermutlich über meine Fähigkeiten hinaus gehen).