Ist eine Polstelle einfach eine Definitionslücke einer gebrochen rationalen Funktion mit jeweils einer …

Question

Aufgabe:

Genaue Definition Polstelle.

Ich habe vorhin die Definition zur Polstelle durchgelesen. Leider wird durch die Definition im Heft, die Polstelle nicht genau genug definiert als das ich sie auf meine Karteikarten schreiben kann bzw. sie wiederspricht sich etwas mit der Definition von zum Beispiel studyflix.

Ist eine Polstelle einfach eine Definitionslücke einer gebrochen rationalen Funktion mit jeweils einer ganzrationalen Funktion im Nenner sowie Zähler, mit der Bedingung das die Nullstelle den Nenner = 0 werden lässt? Oder MUSS an der Stelle auch eine senkrechte Asymptote vorliegen? ( Also heißt diese Stelle nur Polstelle wenn es eine senkrechte Asymptote gibt die parallel zur y-Achse verläuft oder diese selber ist). Gilt die Polstelle nur für gebrochen rationale Funktionen oder haben andere Funktionen auch Polstellen?

Answer 1

Wikipedia hilft

In der Mathematik bezeichnet man eine einpunktige Definitionslücke einer Funktion als Polstelle oder auch kürzer als Pol, wenn die Funktionswerte in jeder Umgebung des Punktes (betragsmäßig) beliebig groß werden.

Es muss also auch eine senkrechte Asymptote vorliegen

Gilt die Polstelle nur für gebrochen rationale Funktionen oder haben andere Funktionen auch Polstellen?

Die Tangensfunktion hat auch Polstellen.

Answer 2

Hallo

An Polstellen gehen Funktionen immer gegen unendlich, entweder von beiden Seiten gegen +∞ oder -∞ oder von beiden Seiten gegen verschiedene ∞.

Wenn Zähler und Nenner gegen 0 gehen an derselben Stelle hat man keinen Pol, sonder nur eine Definitionslücke Beispiel f(x)=(x^2-1)/(x-1) hat bei x=1 eine Definitionslücke  die kann man durch f(1) =2 stetig ergänzen da man für x≠1 f(x)=x+1 schreiben kann.

tan(x) ist ein Beispiel mit Polen, Pole gibt es auch wenn man Funktionen mit Nullstellen im Nenner hat z.B, 1/sin(x)

Gruß lul

Comments

Dankeschön für die Antwort!

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Muss eine gebrochenrationale Funktion denn überhaupt Asymptoten besitzen oder gibt es auch gebrochenrationale Funktionen ohne waagerechte oder senkrechte Asymptoten?

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Ich versuche gerade den unteren Teil der Antwort zu verstehen. Wieso ist f(1)=2 ?

(1x²-1)/(1-1) =/ 2

Und wieso kann ich nur für x ungleich 1 x+1 einschreiben? Wenn ich die Gleichung mit Hilfe der 3. Binomischen Formel verändere, (x+1)(x-1)/(x-1)

x+1 - Da kann ich ja Problemlos die 1 einsetzen

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Hallo

du hast ja selbst die Antwort geliefert, für x≠1 ist f(x)=x+1. aber für x=1 ist der Nenner 0 die Funktion dort also nicht definiert. Nur wenn man einzeln definier f(1)=2 ist die Definitionslücke stetig ergänzt.

Gruß lul

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Achso. Ja. War wohl schon zu spät für mich gestern

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Und wie siehts es mit den Asymptoten aus? Gibt es überhaupt eine gebrochenrationale Funktion die für x-> unendlich auch y → unendlich geht, bzw. für x gegen die Polstelle angenommen x-> 0 x>0 auch gegen y  minus unendlich geht?

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Hallo

Keine Pole, wenn der Nenner keine reellen Nullstellen hat, also etwa Nenner x^2+1

Keine waagerechte Asymptote, wenn der Zählergrad größer Nennergrad ist.

x^4/(x^2+1) geht für x->±∞ gegen +∞, x^3/(x^2+1) geht gegen +∞ für x->+∞ und -∞ für x->-∞

die letzte Frage verstehe ich nicht ganz, aber vielleicht wird sie durch die 2 Funktionen 1/x^2 und 1/x^3 mit Pol bei 0 beantwortet?

lul

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Na ja also alle Funktionen die ich bisher im Heft hatte, sind ( wenn es denn eine senkrechte Asymptote gab ) für

Kurze Beispiel Funktion

1/x

Sind für x>0 x -> Null

immer näher an die y-Achse gekommen ohne sie zu berühren. Also zum Beispiel 1/0.01 , 1/0.0001. Aber eben immer mit y geht gegen unendlich. Gibt es auch eine Funktion bei der man sich der Polstelle so annähert aber die Funktionswerte von y nicht gegen undendlich streben ohne die y Achse zu berühren, sondern bei der die Funktionswerte VON Y gegen null streben, ohne jemals die Stelle 0 zu berühren

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Ich kanns nochmal aufzeichnen eben

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Also im Endeffekt eine gebrochenrationale Funktion, die sich wie eine lineare Funktion verhält, nur das es eben eine Polstelle gibt, oder Definitionslücke, die diese gebrochenrationale Funktion nie berührt, in dem Beispiel y=0

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Also nicht vom Aussehen her wie eine lineare Funktion. Sondern sich für x>0 x-> 0 auch einem immer niedrigeren y wert annähert.