Aloha :)
zu a) Definitionslücken$$f(x)=\frac{x^3+3x}{x^2-x}=\frac{x^3+3x}{x\cdot(x-1)}$$Für \(x=0\) oder \(x=1\) wird der Nenner zu Null. Da Division durch Null nicht definiert ist, müssen wir diese beiden Argumente aus dem Definitionsbreich herausnehmen:$$\mathbb D=\mathbb R\setminus\{0;1\}$$Das hast du richtig gemacht\(\quad\checkmark\)
zu b) Polstellen und hebbare Lücken
Eine hebbare Lücke kann (muss aber nicht) nur dort vorliegen, wo Zähler und Nenner zugleich Null werden. Das ist hier für \(x=0\) der Fall. Wir können im Zähler und im Nenner den Faktor \(x\) ausklammern und anschließend wegkürzen. $$f(x)=\frac{x^3+3x}{x^2-x}=\frac{x\cdot(x^2+3)}{x\cdot(x-1)}=\frac{x^2+3}{x-1}$$
In den verbliebenen Funktionsterm können wir dann tatsächlich \(x=0\) einsetzen und den potentiellen Funktionswert \(f(0)=-3\) ermitteln, der die Lücke schließt.
Bei \(x=0\) liegt daher eine druch die Festlegung \(f(0)\coloneqq-3\) hebbare Lücke vor.
Wenn der Nenner Null und der Zähler ungleich Null ist, liegt eine Polstelle vor. Das ist für \(x=1\) der Fall. An der Stelle \(x=1\) liegt also eine Polstelle vor.
zu c) Asymptote
Zerlege den Funktionsterm in ein Polynom und eine gebrochen rationale Funktion, die für \(x\to\pm\infty\) verschwindet:$$f(x)=\frac{x^3+3x}{x^2-x}=\frac{x(x^2+3)}{x(x-1)}=\frac{x^2\pink{+3}}{x-1}=\frac{(x^2\pink{-1})\pink{+4}}{x-1}=\frac{x^2-1}{x-1}+\frac{4}{x-1}$$$$\phantom{f(x)}=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}+\frac{4}{x-1}=x+1+\frac{4}{x-1}$$
Das Polynom \(a(x)\coloneqq(x+1)\) ist die gesuchte Asymptote.
Alternativ zu der gezeigten Zerlegung kannst du auch eine Polynom-Division durchführen und solltest dann auch den Term \((x+1)\) als Asymptote erhalten.
~plot~ (x^3+3x)/(x^2-x) ; x+1 ; {0|-3} ; x=1 ; [[-10|10|-15|15]] ~plot~
