Ist es nicht so, dass bei einer Polstelle der Grenzwert eben nicht existiert, also nicht definiert ist?

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion f(x)=\( \frac{1}{x^4} \)-4.

Definitionslücke ist 0, so weit alles klar.

Problem/Ansatz:

Aber warum existiert der Grenzwert für x->0.

Ist es nicht so, dass bei einer Polstelle der Grenzwert eben nicht existiert, also nicht definiert ist, und bei einer hebbaren Lücke existiert?

Answer 1

Du hast völlig recht. Der Grenzwert existiert auch gar nicht. Wer das sagt, liegt falsch.

Es gibt die Sprechweise \(\lim\limits_{x\to 0} f(x)=\infty\), das nennt man uneigentlicher Grenzwert, aber ich gehe davon aus, dass Du das hier nicht meinst.

Comments

Vielleicht muss ich die Frage anders stellen: Warum zeigt ein CAS-System, in dem Fall Classpad, für \( \frac{1}{x} \)-4 den Grenzwert als nicht definiert an, für \( \frac{1}{x^4} \)-4 a aber mit ∞ einen uneigentlichen Grenzwert an?

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Weil bei \(\frac1x-4\) auch kein uneigentlicher Grenzwert existiert. Es ist nämlich \(\lim\limits_{x\to 0+}\frac1x-4=\infty\), aber \(\lim\limits_{x\to 0-}\frac1x-4=-\infty\), Genauso übrigens bei \(\frac1{x^3}-4\), aber nicht bei \(\frac1{x^2}-4\).

Answer 2

In der Mathematik bezeichnet man eine einpunktige Definitionslücke einer Funktion als Polstelle oder auch kürzer als Pol, wenn die Funktionswerte in jeder Umgebung des Punktes (betragsmäßig) beliebig groß werden. Damit gehören die Polstellen zu den isolierten Singularitäten. Das Besondere an Polstellen ist, dass sich die Punkte in einer Umgebung nicht chaotisch verhalten, sondern in einem gewissen Sinne gleichmäßig gegen unendlich streben. Deshalb können dort Grenzwertbetrachtungen durchgeführt werden.

Unter einer hebbaren Definitionslücke versteht man eine Definitionslücke, welche durch das Kürzen der Funktion behoben werden kann. Das heißt, die Lücke ist nach dem Kürzen nicht mehr erkennbar. Du kannst dir also merken, dass eine die Definitionslücke aus dem Funktionsterm verschwinden kann, wenn sie hebbar ist!