der Differentialquotient einer Funktion f an der Stelle x lautet:
$$ \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} $$
Dieser Grenzwert ist zu untersuchen. Da die Funktion stückweise definiert ist betrachtet man den links und rechtsseitigen Grenzübergang:
$$ \lim_{h\to 0-}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}= \lim_{h\to 0-}\frac{0-0}{h}=0 $$
$$ \lim_{h\to 0+}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}= \lim_{h\to 0+}\frac{hln(h)-0}{h}= \lim_{h\to 0+}ln(h)=-\infty $$
Da sich die beiden Grenzwerte unterscheiden existiert der Differentialquotient nicht, daher ist die Funktion in x=0 nicht differenzierbar.