Aufgabe 5a) Stückweise definierte Funktion auf Stetigkeit und Differenzierbarkeit untersuchen?

Question

Bitte Helfen Sie mir bei Aufgabe: Stückweise definierte Funktion auf Stetigkeit und Differenzierbarkeit untersuchen.?

a) \( f(x)=\left\{\begin{array}{ll}{\frac{-1}{x+2}} & {\text { für } x<-2} \\ {\frac{x^{3}}{x}} & {\text { für }-2 \leq x<0 \vee 0<x<1} \\ {2} & {\text { für } x=0} \\ {1} & {\text { für } 1 \leq x \leq 3} \\ {-\frac{2}{3} x+1} & {\text { für } x>3}\end{array}\right. \)

b) \( f(x)=\left\{\begin{array}{ll}{\frac{1}{2} x^{3}-1} & {\text { für } x \leq-2} \\ {2 x+1} & {\text { für }-2<x<-1} \\ {0} & {\text { für } x=-1} \\ {\frac{x^{2}}{x}} & {\text { für }-1<x<0} \\ {\frac{x(2 x+1)}{x-2}} & {\text { für } x>0}\end{array}\right. \)

c) \( f(x)=\left\{\begin{array}{ll}{\frac{1}{x+6}} & {\text { für } x<-6 \vee-6<x<-3} \\ {-\frac{1}{x}} & {\text { für }-3 \leq x<0} ∨ 0 < x ≤ 1\\ {2} & {\text { für } x=0} \\ {\frac{1}{2} x^{2}-\frac{3}{2}} & {\text { für } 1<x<3} \\ {3 x-1} & {\text { für } x \geq 3}\end{array}\right. \)

d) \( f(x)=x-|0,5 x-3| \)

 
ein Beispiel im Teil a. 

Answer 1

Könntest du den Graphen skizzieren? Das sollte mehr oder minder so aussehen.

Am Graphen kann ich jetzt schon die Stetigkeit/Differenzierbarkeit ablesen.

Bei -2 nicht stetig

Bei 0 nicht stetig

Bei 1 stetig aber nicht differenzierbar

Bei 3 nicht stetig

Kannst du das jetzt noch rechnerisch zeigen, indem du die Grenzwerte an den Stellen bildest?

Comments

Vielen dank. ich habe aber eine Frage. es gibt noch andere Methode, um solche Aufgabe zu lösen.

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Man muß für alle Nahtstellen Stetigkeit
und Differenzierbarkeit nachweisen / ausrechnen.

Das werde ich gleich für a.) einmal vorführen.

Answer 2

Hier die Nachweise der Stetigkeit.

Das 5 Nahtstellen nachzuweisen sind
ist ungewöhnlich und erfordert
Konzentration

Differenzierbarket später.

Comments

damit eine Funktion an einer Nahtstelle differenzierbar
ist muß Sie dort auch stetig sein

Ableitungen

Nahtstelle x = 1

linker Grenzwert

f ( x ) = x^3 / x
f ´( x ) = 3 * x^2 / 1
f ´ ( 1 )  = 3

rechter Grenzwert

f ( x ) = 1
f ´( x ) = 0

3 ≠ 0

Die Funktion ist bei x = 1 nicht differenzierbar

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Ich habe mir jetzt nicht die Antwort von georgborn durchgelesen, Aber ich möchte nochmal explizit darauf hinweisen, dass die Differenzierbarkeit die Stetigkeit voraussetzt. D.h. wenn man heraus bekommt das ein Graph an einer Stelle nicht stetig ist, dann ist er automatisch auch nicht differenzierbar.

Damit muss die Differenzierbarkeit nur an der Stelle 1 überprüft werden, weil dort der Graph immerhin stetig ist. An den anderen Stellen ist der Graph nicht stetig und somit automatisch auch nicht differenzierbar.

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hallo Coach,

deine Antwort ist identisch wie der meinigen.

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Alles klar. Wie gesagt, ich hatte keine Lust das alles zu lesen und wollte nur nochmals explizit darauf hinweisen, weil da viele meiner Schüler unnötig Zeit vergeuden.