Aufgabe:
BestimmenSiedieFourierreihevonderT−periodischenFunktionf(x)mitT=3undf(x)=⎩⎪⎨⎪⎧x13−x,falls0≤x<1,falls1≤x<2,falls2≤x<3,wobeiderRechenwegnachvollziehbardarzulegenist.Begru¨ndenSieschließlich,obdieKonvergenzderReihegleichma¨ßigist.
Problem/Ansatz:
Ich habe bereits festgestellt, dass f gerade ist. Jetzt müssen nur noch die Koeffizienten an (und a0) berechnet werden. Dafür ist aus unserem Vorlesungsskript folgende Formel für gerade Funktionen gegeben:
(SeiPeriodeT=2lmitl>0)an=l2∫0lf(x)cos(lnπx)dx
Hier habe ich das (hoffentlich korrekt) auf die Aufgabenstellung angewendet und das entstehende Integral aufgeteilt, weil die Funktion stückweise definiert ist:
BerechnetwirdT : T=3=2l⇒l=23=1,5Berechnetwirdan : an=34∫01,5f(x)cos(nπx32)dx=34(∫01xcos(nπx32)dx+∫11,5cos(nπx32)dx)
Ich habe noch festgestellt, dass:
cos(nπ32)={−0,51,fallsn=3×m,fallsn=3×m,mitm∈N
An dieser Stelle sitze ich fest. Wie mache ich hier weiter und nutze die letzte Feststellung oben?