Stetigkeit von stückweise definierten Funktionen?

Question

Hallo liebe Mathelounge-Mitglieder,

ich sitze gerade an einer Aufgabe und komme leider absolut mal wieder nicht weiter.

Es fängt schon damit an, dass mir der Rechenweg nicht ersichtlich ist.

Wie müsste ich an diese Aufgabe herangehen, um c sowie d zu finden?

Lieben Dank schon mal im Voraus!

Answer 1

a) Setze bei der ersten und letzten der drei Zeilen der Definition x=2 ein und kontrolliere, ob dasselbe rauskommt. In diesem Fall gibt es ein solches c.

ln(1) + 4 - 3 = 1

sin(π/2) = 1

Also kann man c=1 nehmen. 

b) Gibt es lim_(x->0) sin(1/x) ? Falls dieser Grenzwert existiert, gibt es ein d , sonst nicht.

Comments

Vielen lieben Dank! Dank dir habe ich es verstanden.

Bei b) habe ich nun geschrieben, dass d nicht existiert, da durch nachrechnen der Grenzwert nicht existiert.

Wie genau bist du darauf gekommen, dass bei dieser Aufgabe der Grenzwert gefragt ist?
Die Aufgabe wirkt durch deine Erklärung sehr leicht, aber auf den Grenzwert bei ( b ) wäre ich leider ewig nicht gekommen : )

---

Das Folgende ist NUR eine grobe Erklärung, die du aber immer erst nachrechnen musst.

Graphisch kannst du dir vorstellen, dass man stetige Funktionen auf ganz R ohne absetzen zeichnen können muss.

Bei a) und b) haben die Graphen der beiden Teile erst mal ein Loch an der fraglichen Stelle. Da bei a) die gegebenen Teilfunktionen aber keine Definitionslücke bei x=2 haben kannst du einfach x=2 einsetzen und stellst fest, dass x=2 keine Sprungstelle ist. ==> alles ok. Ansonsten müsstest du auch bei a) einen Grenzwert zu bestimmen versuchen.

Zu b) : f(x) = sin(1/x) hat bei x=0 eine Definitionslücke. Daher deine Grenzwertbetrachtung (die du formal sauber formulieren musst) und dann die Feststellung, dass es diesen Grenzwert nicht gibt.

---

Hallo Lu,

meine eigenen Überlegungen zu b.)

bei 1 / x ergibt sich bei anderem
Vorzeichen von x
z und -z

sin ( z )
sin ( -z )

Nun gilt für die sin-Funktion : sie ist punktsymmetrisch
zu 0 | 0

der Funktionswert ist immer
a und -a

Damit gibt es keine Stetigkeit innerhalb der Funktion
sin ( 1 /  x )

---

Das ist zu kompliziert überlegt und dennoch noch nicht schlüssig.

Nimm z.B. lim_(n->unendlich) sin(1/(1/(πn))

und vergleiche mit lim_(n->unendlich) sin(1/(1/(2πn + π/2)))

Nachtrag zu a) Da x=0 nicht erlaubt ist, handelt es sich bei der oben geflickten Funktion, um eine Funktion, die nicht von R->R abbildet. Aber sie ist in ihrem Definitionsbereich D = (1,unendlich) tatsächlich stetig.

Graph von b) zeigt dir, dass es bei x=0 ein Problem geben könnte

~plot~ sin(1/x) ~plot~

Answer 2

du solltest bei stückweise definierten Funktionen immer überlegen, warum das so ist.

Für

$$ f(x) = \begin{cases} \sqrt{x} \text{für } x \gt 0 \cr \sqrt{-x} & \text{für } x \lt 0 \cr \end{cases} $$

z.B. ist der Grund ein echt mathematischer, weil der Radikant nicht negativ sein darf.

Für

$$ f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{für } x \gt 0 \cr x^3 & \text{für } x \lt 0 \cr \end{cases} $$

z.B. ist der Grund eher willkürlich oder liegt in der Problemstellung begründet, aber eigentlich gibt es keinen math. Grund für die Teilung, da beide Funltionen in ganz \( \Bbb R \) definiert sind.

Entsprechend ist dann auch Dein Vorgehen.

(Im ersten Bsp. ist die 0 überhaupt nicht erlaubt, obwohl sie in beiden Funktionen eingesetzt werden kann, also tue es einfach, und schaue, was passiert. Wenn Du sie nicht einsetzen darfst (weil da z.B. ein ln steht statt einer Wurzel), musst Du einen Grenzwert berechnen.)