Wie zeige ich die Stetigkeit dieser stückweise definierten Funktion mit cos(1/x)?

Question

Aufgabe: Zu den gegebenen Ausdruck, soll die Stetigkeit gezeigt bzw. bewiesen werden an der Stelle x₀  = 0.

Problem/Ansatz: Mein Ansatz ist jetzt, dass der Audruck mit cos der linksseitige "Grenzwert" sein soll und x² der rechtseitige Grenzwert. Beim cos darf man jedoch keine 0 einsetzten, weshalb ich nicht genau weiß wie ich jetzt vorgehen soll. Idee wäre -1 einzusetzten und beim Anderen eine 1. Dann wäre die Funktion aber an der Stelle 0 unstetig oder liege ich falsch. Eine Erklärung würde mir sehr weiterhelfen.

\( f(x)=\left\{\begin{array}{cc}{\cos \frac{1}{x},} & {\text { für } x<0} \\ {x^{2}+1,} & {\text { für } x \geq 0}\end{array}\right. \)

Comments

soll die Stetigkeit gezeigt bzw. bewiesen werden

Das wird ggf. schwierig.

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Evtl.

Zu den gegebenen Ausdruck, soll die Stetigkeit gezeigt bzw. wiederlegt werden.

Bitte mal die genaue Aufgabenstellung prüfen.

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Man soll die Funktion an der Stelle x0 = 0 untersuchen.

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Das impliziert keine Stetigkeit.

Answer 1

Der Ansatz mit einem rechts- bzw. linksseitigen Grenzwert ist hier nicht sehr sinnvoll. Betrachte stattdessen einfach den cos(1/x)-Zweig und überlege dir, welche Werte dieser in der Umgebung von x=0 annimmt.

Answer 2

Aloha :)

Der rechtsseitige Zweig der Funktion lautet \(x^2+1\) für \(x\ge0\). Daher weißt du schon, dass der Funktionswert an der Stelle \(0\) gleich \(1\) ist: \(f(0)=1\). Du musst also noch zeigen, dass der linksseitige Grenzwert der Funktion für \(x\nearrow0\) gegen \(1\) konvergiert:$$\lim\limits_{x\nearrow0}\cos\frac{1}{x}\stackrel{?}{=}1$$Hier konvergiert \(\frac{1}{x}\nearrow-\infty\). Jedoch ist \(\cos\left(2\mathbb{Z}\pi\right)=1\). Mit \(x\to0\) wird \(\cos\frac{1}{x}\) immer mal wieder \(=1\), aber es handelt sich nicht um einen Grenzwert. Der Cosinus oszilliert immer schneller, je stärker sich \(x\) der \(0\) nähert. Die Funktion ist nicht stetig bei \(x=0\).

Comments

Konvertieren tut das vermutlich auch nicht. Deine Antwort bitte nochmals kritisch überarbeiten bzw. konvertieren. Dann kann mein Kommentar wieder weg.

Answer 3

lim x -> 0(-)  [ cos(1/x) ]

lim x -> 0(-)  [ 1/x ] geht gegen -∞
- cos (-∞) ist nicht definiert
( unendlich ist keine Stelle auf dem Zahlenstrahl )

Comments

Ob \(\cos(-\infty)\) definiert ist oder nicht, ist völlig egal.