Stückweise definierte Funktion in jedem x- Wert auf Stetigkeit überprüfen

Question

Gegeben sei die folgende Funktion g: ℝ-->ℝ durch

g(x)= (x+1) arctan x               ,x∈ (-unendlich, 0)

           0                                      ,x =0

           (6x⁴-4x²)/(x⁷+x)          , x ∈ℝ+ ohne 1

           2                                     , x=1

Nun soll die Funktion in jedem Punkt x auf Stetigkeit untersucht werden.

Für x=0 ist die Funktion stetig, da linksseitiger Grenzwert, rechtsseitiger Grenzwert und Funktionswert an der Stelle x=0 jeweils den Wert 0 haben.

Für X= 1 ist die Funktion nicht stetig, da man g(x) umschreiben kann zu g(x)=(6x³-4x)/(x⁶+1) . Der Grenzwert dieser Funktion für x gegen 1 ergibt 1 und stimmt mit dem Funktionswert an der Stelle 1 nicht überein.

So hätte ich die Aufgabe gelöst, aber ich bin mir nicht ganz sicher. Kann mir vielleicht jemand weiterhelfen?

Comments

(6x⁴-4x²)/ (x⁷+x)

Warum wurde hier x = 1 herausgenommen ?

(6*1-4*1 )/ ( 1 + 1 ) geht doch.

Oder soll es im Nenner
(x⁷minus x) heißen ?

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Ich weiß auch nicht warum das herausgenommen wurde, das heißt schon plus, aber die Funktion ist wie oben definiert.

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Der Grenzwert dieser Funktion für x gegen 1 ergibt 1 und stimmt mit dem Funktionswert an der Stelle 1 ( nämlich g(x) = 2) nicht überein.

Das ist richtig, die Funktionon hat einen isolierten Punkt, dort ist sie nicht stetig. Das Umschreiben der Funktion g ist dazu übrigens nicht notwendig.

Answer 1

Es fehlt wohl noch:

An allen anderen Stellen ist g stetig aufgrund der einschlägigen Sätze

über Summen, Produkte etc. stetiger Funktionen.

Answer 2

 (6x⁴-4x²)/(x⁷+x)          , x ∈ℝ+ ohne 1

           2                                     , x=1

Die Angaben ergeben so wenig Sinn

Wahrscheinlich war gemeint

 (6x⁴-4x²)/(x⁷minus x)          , x ∈ℝ+ ohne 1

           2                                     , x=1

Hier der Graph von minus

Der Graph zeigt eine Polstelle / Unstetigekeitsstelle
bei x = 1 diese kann mit der Definition ( 1 | 2 ) nicht
geschlossen werden

ich würde den linken und rechten Grenzwert bilden und dann
darauf hinweisen das die Polstelle nicht geschlossen
werden kann.
Die Funktion kann nicht in einem Zug gezeichnet werden.
Die Funktion ist nicht stetig.

Comments

Warum ergeben die Angaben wenig Sinn?

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Die Angaben ergeben so wenig Sinn

Das machen sie schon, nur eben nicht für jeden! Allerdings besteht die vorgelegte Antwort darin, die ursprüngliche Funktion umzudefinieren und dann Vorschläge zu machen wie: "Ich würde den linken und rechten Grenzwert bilden." Wozu soll das gut sein? Auch die umdefinierte Funktion hat an der Sztelle x=1 einen isolierten Punkt und ist deswegen nicht stetig.

Answer 3

"Nun soll die Funktion in jedem Punkt x (an jeder Stelle x) auf Stetigkeit untersucht werden. "

Was du bis jetzt hast, ist vernünftig.

Du hast aber erst 2 Stellen untersucht. Die Funktion ist für alle x ∈ ℝ definiert. Daher musst du noch sagen, warum die Funktion an allen andern Stellen des Definitionsbereichs stetig sein soll/ stetig ist.

Vielleicht habt ihr ein paar Sätze wie "Polynome sind stetig auf ganz R", "Summen von stetigen Funktionen sind stetig auf dem gleichen Bereich, auf dem beide Summanden stetig sind".... Diese kannst und sollst du hier erwähnen und anwenden um die Stetigkeit an allen übrigen Stellen zu beurteilen.  

Comments

Lu, die Funktion ist auf ganz R definiert.

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Richtig. Danke. Ist nun oben so korrigiert.

Answer 4

Ich hätte die Aufgabe ebenso gelöst, wie du.