Stetigkeit, stückweise definierte Funktion, Epsilon-Delta anwenden, |f(x)-f(y)| =?

Question

Aufgabe:

Folgende Funktion ist stetig auf ℚ

f:ℚ→ℝ

        0, falls x < √2

f(x) =

       1, falls x > √2

Problem/Ansatz:

Ich habe bereits in anderen Foren gelesen, dass man delta als |√2-x| wählen soll.

Mein Problem ist aber, dass ich gar nicht weiß, wie ich überhaupt das Epsilon-Delta-Kriterium anwenden soll, bzw. wie ich die Differenz der beiden Funktionswerte abschätzen kann.

|f(x)-f(y)| = ?

Normalerweise würde man die Funktionswerte an diesen Stellen einfach einsetzen und dann so umformen, dass man irgendwann |f(x)-f(y)|=...≤ |x-y| erhält, was ja dann kleiner Delta ist, was man dann passend wählt, so dass Delta kleiner Epsilon ist.

Aber da f(x) entweder 1 oder 0 ist, kann ich dort keine Werte einsetzen.

Answer 1

Wir wollen die Stetigkeit in einem \(x_0\in Q\) zeigen.

Wenn \(x\) und \(x_0\) beide links von \(\sqrt{2}\) liegen,

ist \(|f(x)-f(x_0)|=|0-0|=0\), also kleiner als jedes \(\epsilon>0\).

Liegen hingegen \(x\) und \(x_0\) beide rechts von \(\sqrt{2}\),

dann ist \(|f(x)-f(x_0)|=|1-1|=0\), also ebenfalls kleiner als jedes \(\epsilon>0\).

Wann liegen nun \(x\) und \(x_0\) auf derselben Seite von \(\sqrt{2}\) ?

Das ist sicher der Fall, wenn \(|x-x_0|<|\sqrt{2}-x_0|\).

Also können wir \(\delta=|\sqrt{2}-x_0|\) wählen.

Comments

Vielen Dank für deine Antwort :)

Das einzige, was ich nicht verstehe, ist, warum die Ungleichung |x-x₀| < |√2-x₀| mir garantiert, dass sowohl x als auch x₀ beide kleiner √2 ist.

Wenn x und x₀ beide kleiner √2, ist mir die Ungleichung klar.

Aber wenn beide größer √2, verstehe ich das nicht so ganz.

Außerdem müsste die Gleichung doch auch gelten, wenn x < √2 und x₀ > √2.

Durch umformen mit der Dreiecksungleichung erhalte ich |x-x₀| < √2 /2.

Wenn aber mein x zwischen -√2 /2 und √2 und mein x₀ zwischen √2 /2 und √2 liegt, müsste deren Abstand ja trotzdem noch kleiner als √2 /2 sein, so lamge sie nur nahe genug an √2 liegen.

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Aber wenn beide größer √2, verstehe ich das nicht so ganz.

Der Funktionswert für beide ist dann gleich, die Differenz also 0.

Außerdem müsste die Gleichung doch auch gelten,
wenn x < √2 und x₀ > √2.

Warum sollte das gelten? Wenn x₀ > √2,

dann steht es doch in meinem Belieben, eine so kleine

Umgebung zu wählen, dass auch x > √2 ist.. Und genau das mache ich

doch, indem ich das δ entsprechend wähle.

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Oh, ich meinte eigentlich die ganze Zeit nur die Ungleichung |x-x0| < |√2-x0|, habe das leider schlecht formuliert.

Ich glaube mein Problem war, dass ich mir nicht wirklich bewusst war, dass mein x₀ fest ist und ich durch mein Delta mein x so wählen kann, dass x und x₀ nahe genug beieinander sind, also dass der Abstand von x zu x₀ keiner ist als der abstand zwischen √2 und x₀. Dann muss nämlich x zwischen x₀ und √2 liegen.

Deine Antwort hat mir echt weitergeholfen, vielen Dank.