Funktionsvorschrift einer stückweise definierten nicht stetigen Funktion

Question

Aufgabe:Bestimmen Sie die Vorschrift einer stückweise definierten Funktion f mit Definitionsbereich ℝ und folgenden Eigenschaften:

f ist überall stetig, außer an der Stelle x = 5

f (x) = 2x + 1 für x ∈ [1, 2]
f(4) = 0
f′(4) = 3
f(5) = 2
lim f(x)=+∞
x→−∞
lim f(x)=1

x→+∞

und Problem/Ansatz:

Ich verstehe nicht ganz wie das funktionieren soll, habe alles in einen Graphen eingetragen, da aber der Grenzwert für x→+∞ =1 ist, heißt das doch dass z.B. schon der Punkt (5|2) sowie (2|3) welche durch die anderen Bedingungen gegeben sind außerhalb des Grenzbereiches liegen.

Ich würde mich sehr über Rückmeldung freuen und bedanke mich schon im Voraus

Lg Max

Comments

f (x) = 2x + 1 für x ∈ [1, 2]

Hier ist f gegeben.

Danach sollte f nicht gesucht sein.

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Ja allerdings gilt diese Funktion ja lediglich für x = 1 und 2, jedoch soll eine Funktionsvorschrift angegeben werden die eine oder mehrere funktionen beschreibt, welche alle diese Bedingungen erfüllt, also ist sozusagen nach einer Verbindung dieser Punkte gesucht.

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Eine stückweise definierte Funktion in dem Fall?

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Nimm bitte

 f (x) = 2x + 1 für x ∈ [1, 2]

auf eine separate Zeile. Das ist dann ja eine der vielen Bedingungen.

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Ja eine stückweise definierte Funktion, entschuldigung, da ich die Aufgabe bereits kannte habe ich nicht daran gedacht dass das eventuell verwirren könnte, Ich kann den Beitrag allerdings nicht mehr bearbeiten.

Answer 1

f (x) = 2x + 1 für x ∈ [1, 2]

heisst

 f(1) = 2*1 + 1 = 3. Somit Punkt A(1|3)

f(2) = 2*2 + 1 = 5. Somit Punkt B(2|5)

Auch Punkte zwischen diesen beiden Punkten sind bekannt.

Zeichne A und B auf ein Blatt und verbinde die beiden Punkte mit dem Lineal.

Das ist alles, was du hast. Wie es links von A oder rechts von B weitergeht, weisst du also noch nicht. Damit die Funktion am Schluss auf ganz R definiert ist, musst du die Fortsetzung links und rechts noch ergänzen.

z.B. schon der Punkt (5|2) sowie (2|3) welche durch die anderen Bedingungen gegeben sind außerhalb des Grenzbereiches liegen.

Nein. P(2|3) ist falsch. Q(5|2) kannst du aber schon mal einzeichnen. Gegen Q spricht nichts.

Comments

Unterteile den Definitionsbereich nun einfach so, dass du alle Bedingungen unterbringst.

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Vielen Dank, das mit P hatte ich falsch abgelesen, was mich verwirrt ist, dass die Punkte außerhalb des Grenzwertes liegen und warum/ob das möglich ist. Außerdem wenn die Steigung f‘(4)=3 im Punkt (4|0) ist, und ich diesen mit Q(5|2) verbinden will kann nich ja nicht einfach eine gerade ziehen oder?

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wenn die Steigung f‘(4)=3 im Punkt (4|0) ist, und ich diesen mit Q(5|2) verbinden will kann nich ja nicht einfach eine gerade ziehen oder?

Nein. Du musst dafür sorgen, dass die Kurve oder das Geradenstück in C(4|0) die Steigung 3 hat. Kannst aber z.B. bei x=4.5 wieder eine Intervallgrenze erfinden, wenn das nötig ist.

dass die Punkte außerhalb des Grenzwertes liegen

Hier meinst du

dass die Punkte außerhalb des Definitionsbereichs liegen

Das ist aber auch nicht wahr. Auf ganz R definiert, heisst, dass jedes Element der x-Achse Element des Definitionsbereichs sein muss. D.h. du musst überall, wo noch nichts definiert ist, etwas erfinden.

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Also z.B.

g: R -> R,

g(x): = 3 für x Element (-unendlich, -3]

g(x):= 4x+1  für x Element (-3, -2)

g(-2):= -20

g(x):= -x + 9  für x Element (-2, unendlich)

Das g ist so "auf ganz R definiert".

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Ich habe es bis jetzt immer so verstanden als ob lim f(x)=1 ,x→+∞ bedeutet, dass im positiven bereich der X-Achse bis +∞ der größte Y Wert in diesem Falle 1 sein darf.

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Das ist dann wohl falsch. Für f(x):= 1 + 1/x gilt

lim f(x)=1

x→+∞

~plot~ 1 + 1/x;1 ~plot~

Das könntest du nehmen. Aber erst ab einer bestimmten Stelle. D.h. z.B. ab x=10. Also rechts von der (grünen) Grenze, die ich hier im Zoom ergänzt habe:

~plot~ 1 + 1/x;1;x=10;[[-6|15|-3|10]] ~plot~

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Also wäre eine mögliche Lösung wäre dann doch

f1(x)=-1x+3  für x ∈ (1,-∞)

f2(x)=2x + 1 für x ∈ [1, 2]

f3(x)=-2.5(x-2)+5 für x ∈ (2,4)

f4(x)=3(x-4) für x ∈ (4,5)

f5(x)=1 für x ∈ [5,∞)

oder ?

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Du brauchst nichts zu nummerieren. Alles heisst f, weil du f definieren musst.

Zeichne das auf, damit f stetig ist, darf es keine Sprungstellen geben.

Die Sprungstelle bei x=5 bringst du z.B. so weg.

f(x):=3(x-4) für x ∈ (4, 4 1/3 )

f(x):=1 für x ∈ [4 1/3 ,∞)

Grund: auch 3( 4 1/3 - 4) = 3(1/3) = 1.

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noch eine Korrektur zu f1(x)=4

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Die Sprungstelle bei x=5 war gewollt da bei den Bedingungen steht dass die Funktion überall stetig ist ausser bei x=5, die Nummerierung war an der Stelle um den Überblick zu wahren. Die Frage ist entspricht diese Funktion allen Bedingungen die Oben angegeben wurden?

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Ah. Ok. Dann hattest du dort doch recht.

Warum hast du nun

noch eine Korrektur zu f1(x)=4

f(x)=-1x+4  für x ∈ (-∞,1)

Bei Intervallen immer zuerst die kleinere Grenze notieren.

Ansonsten passt  zu

f(x)=2x + 1 für x ∈ [1, 2]

Da -1 * 1 + 4 = 3 und 2*1 + 1 = 3.

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Vielen dank dir, habe noch gesehen dass f5(x)=1 für x ∈ [5,∞) so nicht ganz geht, da noch eine Bedingung war f(5)=2, deswegen habe ich auf e^(-x+5) geändert.

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f(5):= 2

f(x):=1 für x ∈ (5,∞)

müsste auch passen, da f an der Stelle x=5 nicht stetig ist.