Stetigkeit. Parameter a,b, so dass f stetig ist? f(x):=1/x für x<-1, f(x):=ax + b für -1≤x≤1, f(x):= In(x) für x>1.

Question

Bestimmen Sie  falls dies möglich ist a,b ∈ℝ so dass die Funktionen f: ℝ in ℝ mit

f (x) = { 1/x      für x < -1

              ax + b   für -1 <= x <= 1

              In (x)      für x>1  

stetig ist. 

Danke

Answer 1

f (x) = { 1/x      für x < -1

              ax + b   für -1 <= x <= 1

              In (x)      für x>1  

Betrachte die "Ränder" der Intervalle. 

ln(1) = 0 

und 1/(-1) = -1

Nun muss gelten

a * 1 + b = 0           (I)

und a * (-1) + b = -1        (II)

Löse dieses Lgs. und du hast die Parameter a und b. 

(I)'  a = -b         | in (II) einsetzen vgl. Kommentar von az0815

(II)' (-b)*(-1) + b = -1

(II)''   2b = -1 ==> b = -1/2

==> a = 1/2

Kontrolle: 

~plot~ 1/x; 0.5x - 0.5; ln(x); x=-1; x=1 ~plot~

Du kannst den Verlauf des Funktionsgraphen ohne Absetzen Koordinatensystem oben übermalen. 

Comments

Dankee, aber was heisst "in b" warum kannst du aus a b machen? 

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Offenbar wurde (I)' a = -b für a in (II) a * (-1) + b = -1 eingesetzt.

Wenn du stattdessen einfach (I) - (II) und (I) + (II) rechnest, bist du schneller fertig.

Answer 2

Hallo Samira,

f (x) = { 1/x      für x < -1

              ax + b   für -1 <= x <= 1

              In (x)      für x>1  

f ist stetig in u ∈ D, wenn lim_x→u  f(x) = f(u)  gilt.

Wegen der Stetigkeit der Funktionen  x↦1/x in ] - ∞ ; -1 [ ,  x↦ ax+b in ] -1 ; 1 [ und x ↦ ln(x) in ] 1 ;∞ [  muss nur noch die Stetigkeit in den "Nahtstellen" x = -1 und x = 1 sichergestellt werden.

Hier benutzt man lim_x→u f(x) = lim_x→u-  f(x)  =  lim_x→u+  f(x)  [ einseitige GW ]

Hierzu muss  lim_x→-1 f(x) = f(-1) und lim_x→1 f(x) = f(1)  gelten.

lim_{x→ -1-} f(x) = -1 = lim_{x→ -1+} f(x) = ax+b            ⇔ -a+b = -1    (G1)

lim_{x→ 1-} f(x) = a+b  = lim_{x→ -1+} f(x) = ln(1) = 0    ⇔  a+b = 0    (G2)

G1 + G2 → 2b = -1 → b = -1/2 →_G2  a = 1/2

Gruß Wolfgang