Analysis, Stetigkeit und Differenzierbarkeit von stückweise definierten Funktionen

Question

Was ist die beste Möglichkeit um zu zeigen, dass f fur alle  x ∈ R stetig ist?

Und wie zeigt man; dass x = 0 differenzierbar ist?

I) sei
f(x) =  x ln x  , x > 0 und 0 , =< 0
Zeigen Sie, dass f für alle x e R stetig ist.
II)  Zeigen Sie das f in x = 0 nicht differenzierbar ist.

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Stetigkeit von Funktionen nicht differenzierbar

Stichworte: analysis,stetig,funktion,stetigkeit,differenzierbarkeit

I) sei
f(x) =  x ln x  , x > 0 und 0 , =< 0
Zeigen Sie, dass f für alle x e R stetig ist.

II)  Zeigen Sie das f in x = 0 nicht differenzierbar ist.

Answer 1

für x>0 ist f stetig, da x und LN(x) dort stetige Funktionen sind und das Produkt somit auch stetig ist.

Um die Stetigkeit in x=0 zu untersuchen, betrachte ob lim x--->0 f(x) =f(0) ist.

(für x<0 ist es auch klar ;) )

Für die Differenzierbarkeit untersucht du den Differentialquotienten in x=0, also ob der entsprechende Grenzwert existiert.

Comments

Wie genau geht das mit dem Differentialquotienten?
lim_x->0  (x ln x)/(x ln x) ?

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der Differentialquotient einer Funktion f an der Stelle x lautet:

$$ \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} $$

Dieser Grenzwert ist zu untersuchen. Da die Funktion stückweise definiert ist betrachtet man den links und rechtsseitigen Grenzübergang:

$$ \lim_{h\to 0-}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}= \lim_{h\to 0-}\frac{0-0}{h}=0 $$

$$ \lim_{h\to 0+}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}= \lim_{h\to 0+}\frac{hln(h)-0}{h}= \lim_{h\to 0+}ln(h)=-\infty $$

Da sich die beiden Grenzwerte unterscheiden existiert der Differentialquotient nicht, daher ist die Funktion in x=0 nicht differenzierbar.