Matrizengleichungen Lösungsmengen bestimmen

Question

Aufgabe

1. Bestimmen Sie den Rang der Matrix E−A und entscheiden Sie mithilfe des Ranges von E−A, ob die Matrix E − A invertierbar ist. Im Falle der Invertierbarkeit berechnen Sie die inverse Matrix (E − A)−1. Dabei ist E die Enheitsmatrix aus IR3×3.

(ERLEDIGT)

2. Ist die Matrizengleichung x = Ax + b nach dem Spaltenvektor x auflösbar? Begründen Sie Ihre Antwort.

Nein , weil durch X geteilt werden muss....

3. Berechnen Sie die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems x = Ax + b.

Problem/Ansatz:

Bei der 2 habe ich lange gebraucht um es zu verstehen hahaha...

A:

0	1	0
-2	0	-2
-3	0	0

b

0

2

0

Bei der 3 Habe ich meine Probleme den Anfang zu machen

wäre super wenn mir jemand es schritt für schritt erklären kann...

Answer 1

Hallo Yücel,

2. ... Nein , weil durch X geteilt werden muss....

Es muss nicht durch x geteilt werden. Nach x soll aufgelöst werden. Man beginnt immer damit, alle Terme mit x auf eine Seite zu bringen und anschließend x zu isolieren: $$\begin{aligned} x &= Ax + b && \left|\, -Ax\right.\\ x - Ax &= b \\ Ex - Ax &= b \\ (E - A) x &= b&& \left| \, (E-A)^{-1} \cdot \right. \\ x &= (E-A)^{-1} \cdot b\end{aligned}$$Die Gleichung ist also genau dann eindeutig lösbar, wenn \(E-A\) invertierbar ist.

zu 3) wenn Du 1) gelöst hast, so brauchst Du das dortige Ergebnis $$(E-A)^{-1} = \begin{pmatrix}-1/3& -1/3& 2/3\\ -4/3& -1/3& 2/3 \\ 1& 1& -1\end{pmatrix}$$nur in die Gleichung bei 2) einsetzen. Dann ist $$x = \begin{pmatrix}-2/3\\ -2/3\\ 2\end{pmatrix}$$

Bei der 3 Habe ich meine Probleme den Anfang zu machen

Der Anfang von 3) ist 1) und 2) zu lösen. Falls Du noch Fragen hast, so melde Dich bitte.

Comments

Kannst du mir bitte den Letzten schritt erklären mit dem einsetzten.

wie rechnen ich das aus ?

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Kannst du mir bitte den Letzten schritt erklären mit dem einsetzten.

Bei 2) steht die Gleichung $$x = (E-A)^{-1} \cdot b$$ und \((E-A)^{-1}\) ist aus 1) bekannt. (Du schriebst 'ERLEDIGT')$$(E-A)^{-1} = \begin{pmatrix}-1/3& -1/3& 2/3\\ -4/3& -1/3& 2/3 \\ 1& 1& -1\end{pmatrix}$$ und der Vektor \(b\) war gegeben. Also  \((E-A)^{-1}\) und \(b\) in die Gleichung aus 2) einsetzen:$$\begin{aligned}x &= (E-A)^{-1} \cdot b \\&= \begin{pmatrix}-1/3& -1/3& 2/3\\ -4/3& -1/3& 2/3 \\ 1& 1& -1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0\\ 2\\ 0 \end{pmatrix} \\&= \begin{pmatrix} -2/3\\ 2/3\\ 2 \end{pmatrix}\end{aligned}$$Ist 'ne einfache Matrix Vektor Multiplikation und in diesem Fall besonders einfach, weil man nur die 2.Spalte der Matrix mit \(2\) multiplizieren mus.

Gruß Werner

Answer 2

3. Berechnen Sie die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems x = Ax + b.

x = Ax + b | -Ax

x-Ax =b

(E-A)x =b

x=(E-A)^(-1) *b

Comments

Der Vorletzte schritt ist dann /(E-A)^(-1)?

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Der Vorletzte schritt ist dann /(E-A)^(-1)?

Nein - nicht geteilt durch \((E-A)^{-1}\) sondern von links multipliziert mit der Inversen von \(E-A\). Das steht auch so in meiner Antwort; der senkrechte Strich davor ist lediglich ein Trennzeichen$$\begin{aligned} (E - A) x &= b&& \left| \, (E-A)^{-1} \underbrace{\cdot}_{\text{mal}} \right. \\ \underbrace{(E-A)^{-1} \cdot (E - A)}_{=E} \, x &= (E-A)^{-1} \cdot b\\ x &= (E-A)^{-1} \cdot b\end{aligned}$$Das 'mal' steht rechts und soll heißen, dass der Term \((E-A)^{-1}\) von links multipliziert wird. Matrizenmultiplikation ist nicht kommutativ, d.h. die Faktoren eines Matrizenprodukts können nicht ohne weiteres vertauscht werden.

Der Sinn der Multiplikation besteht darin, dass auf der linken Seite der Gleichung die Einheitsmatrix \(E\) entsteht und die kann dann in der Multiplikation mit \(x\) fort gelassen werden. Eine Matrix multipliziert mit ihrer Inversen ergibt immer die Einheitsmatrix \(E\).

Gruß Werner