Vektorgeometrie: PUnkte sind gegeben, damit sollte ich rechnen

Question

Aufgabe:

Gegeben sind die Punkte

A = -5/3/3/

B= 1/5/8

c= 7/11/9

a) Berechne Vektor u= AB * AC,  Vektor v = AB* BC,    w=AC*BC

b) Zeige, daass u*AB=u*AC=0 gilt

c) Berechne die Länge der Vektoren u, v, w; interpretiere das Ergebnis geometrisch

Problem/Ansatz:

Wie sollte ich das überhaupt lösen? Ich habe es mal probiert, bin aber immer wieder auf das falsche Resultat gekommen.

a) u=v=w= (28/24/24)

b)-

c) u=v=w=44

Answer 1

Der Differenzvektor \(\overrightarrow{AB}\) ist gleich \(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\). Analog dazu auch für die anderen Vektoren.

Somit ist \(\vec{u}=\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \left(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\right) \cdot \left(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}\right) \\ = \left[\begin{pmatrix}1\\ 5\\8\end{pmatrix}  -\begin{pmatrix}-5\\ 3\\3\end{pmatrix}\right]\cdot \left[\begin{pmatrix}7\\ 11\\9\end{pmatrix}  -\begin{pmatrix}-5\\ 3\\3\end{pmatrix}\right]=\begin{pmatrix}6\\ 2\\5\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}12\\ 8\\6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}72\\ 16\\30\end{pmatrix}\)

Die Länge eines Vektors \(\vec{x}=\begin{pmatrix}x\\ y\\z\end{pmatrix}\) entspricht \(|\vec{x}| = \sqrt{x^2+y^2+z^2}\).