Taylorpolynom von ln(1 + sinx) und Taylorreihe von integral_0^x exp(-t^2)

Question

Aufgabe:

a)

Geben Sie das Taylor-Polynom dritten Grades für die Funktion \( x \mapsto ln(1+sinx)\) um den Entwicklungspunkt \( x_0 = 0 \) an.

b)

Geben SIe die Taylor-Reihe für die Funktion \( x \mapsto \int\limits_{0}^{x} e^{-t^2} \) um den Entwicklungspunkt \( x_0 = 0 \) an.

c)

Berechnen Sie \( ln(1,1) \) näherungsweise durch das quadratische Taylorpolynom von \( lnx \) an der Stelle \( x_0 = 1 \) und schätzen Sie den Fehler mit Hilfe des Restglieds ab.

Problem/Ansatz:

a)

Auf die einzelnen Ableitungen verzichte ich an der Stelle und gebe direkt mein Ergebnis an:

\( T =  \frac{f^0(0)(x-0)^0}{1} + \frac{f^1(0)(x-0)^1}{1} + \frac{f^3(0)(x-0)^2}{2} + \frac{f^3(0)(x-0)^3}{6} = 0 + x - \frac{1}{2}x + \frac{1}{6}x = \frac{4}{6}x = \frac{2}{3}x\)

bei b) und c) weiß ich nicht genau, wie ich vorgehen soll bzw. es fehlen mit die Ansätze...

Answer 1

Deine Lösung zu a) ist vom Ansatz her richtig, nur hast du falsch zu Ende gerechnet. Es muss lauten:

$$ T_3f(x;0)=...=x-\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{3!}x^3 $$

Zu b) kennst du doch bestimmt die Reihe für e^x. Du musst nur mit x=-t^2 substituieren.

Zu c) Erstmal das Taylor-Polynom nach der Formel aufstellen. Und dann schätzt du mit einem Restglied (wahrscheinlich La Grange) den maximalen Fehler ab. Ansatz wäre also

$$ g(x)=\ln(x)\\ T_2g(x;1)=\Bigg(\sum_{k=0}^2 \frac{g^{(k)}(1)}{k!}\cdot (x-1)^k \Bigg)+R_2(x) $$

Comments

Bei a) muss ich wohl nochmal nachrechnen, habe bei \( f^3(x) = 1\) raus.

Zu b) meinst du die Reihe \( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} ?\)

Zu c) muss ich da dann einfach die Taylorreihe um ein Polynom erweitern?

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Zu a). Du meinst wohl f^3(0)=1. :-)

Zu b). Ja

Zu c). Was meinst du mit Polynom erweitern?

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Also um das Restglied (mit ξ anstatt \( x_0 \)) erweitern, welches dann eine weitere Ableitung der Funktion ist, also in dem Fall die dritte.

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Ja genau. Und das machst du auf dem Intervall [1; 1,1], weil x_0=1 dein Entwicklungspunkt ist und für x=1,1 der Wert angenähert werden soll.

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Wäre das dann mein Restglied:

\( R_2 = \frac{f^3(x_0) \cdot (x - x_0)^3}{6} = \frac{\frac{2}{x^3} \cdot (x - 1)^3}{6} = \frac{2 \cdot (x - 1)^3}{6x^3} \) ?

Wie gehe ich weiter vor?

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Also wenn du das nach La Grange machst, betrachtet man immer den Betrag. Also

$$ |R_2(x)|=\Bigg|\frac{f^{(3)}(\xi)}{3!}\cdot (x-1)^3\Bigg| $$ Dabei ist x∈[1; 1,1] und das ξ zwischen x und dem Entwicklungspunkt x_0=1.

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Bei der b) stehe ich aber noch auf dem Schlauch.

Wenn ich die Reihe nun habe und \( x=-t^2 \) substituiere, habe ich \( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-t^2)^n}{n!}\)? Aber was kann ich damit anfangen?

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Dann hast du diese Identität geschaffen:

$$ e^{-t^2}=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}\cdot (-t^2)^{^n}=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!}\cdot t^{2n} $$

Man also einen Ausdruck geschaffen (Potenzreiehe), die du nun integrieren kannst, indem ja jeder Summand der Potenzreihe integriert wird.

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Ist das dann auch schon das Ergebnis? Sieht sehr verdächtig nach einer Taylorreihe aus.

Ich versuch nämlich immer irgendwas abzuleiten um eben die Werte für die Formel zu haben etc...

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Ja, das kannst du natürlich auch machen, ist aber umständlicher, da du dann die n-te Ableitung erkennen musst, bzw. sie beweisen musst. Und das wird bei deiner Funktion nicht schön.

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Perfekt, danke!