Antwort mit KI erzeugt
Konvergenz der Reihe
Um zu zeigen, dass die gegebene Reihe
\(
\sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{n^{2}+8}{(n^{2})!}
\)
konvergiert, betrachten wir das Quotientenkriterium für Reihen. Dieses besagt, dass eine Reihe \(\sum a_n\) konvergiert, falls der Grenzwert
\(
\lim_{{n \to \infty}} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|
\)
existiert und kleiner als 1 ist.
In unserem Fall ist \(a_n = \frac{n^{2}+8}{(n^{2})!}\).
Berechnen wir nun den Quotienten \(\frac{a_{n+1}}{a_n}\):
\(
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{(n+1)^{2}+8}{((n+1)^{2})!}}{\frac{n^{2}+8}{(n^{2})!}}
\)
Nun vereinfachen wir diesen Ausdruck:
\(
= \frac{(n+1)^{2}+8}{(n^{2}+2n+1)!} \cdot \frac{(n^{2})!}{n^{2}+8}
\)
\(
= \frac{(n+1)^{2}+8}{n^{2}+8} \cdot \frac{(n^{2})!}{(n^{2}+2n+1)!}
\)
Da \((n^{2}+2n+1)! = (n^{2})! \cdot (n^{2}+1) \cdot (n^{2}+2) \cdots (n^{2}+2n+1)\), vereinfachen wir weiter:
\(
= \frac{(n+1)^{2}+8}{n^{2}+8} \cdot \frac{1}{(n^{2}+1) \cdot (n^{2}+2) \cdots (n^{2}+2n+1)}
\)
Da alle Terme im Nenner größer als 1 sind, wird dieser Ausdruck immer kleiner, je größer \(n\) wird. Insbesondere nähert sich der Quotient \(\frac{(n+1)^2+8}{n^2+8}\) dem Wert 1, und der Bruch
\(
\frac{1}{(n^{2}+1) \cdot (n^{2}+2) \cdots (n^{2}+2n+1)}
\)
wird immer kleiner, nähert sich also 0, wenn \(n\) gegen Unendlich läuft.
Somit gilt:
\(
\lim_{{n \to \infty}} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = 0 < 1
\)
Da der Betrag des Grenzwertes des Quotienten kleiner als 1 ist, konvergiert die Reihe aufgrund des Quotientenkriteriums.
