Funktion nach x auflösen: 1 = ln^2 (x) + 2 ln(x)

Question

1 =  ln^2 (x) + 2 ln(x)

wie löse ich das nach x auf ...... bitte mit Erläuterung komme einfach nicht aufs richtige Ergebnis

Danke für eure Hilfe

Comments

Substitutiere: lnx=z

Daraus ergibt sich die Gleichung:

z^2+2z-1=0

Löse diese Gleichung, dann Resubstitution durchführen.

Answer 1

1 = ln²(x) + 2 ln(x)
ln(x) = z
ln²(x) = z²
1 = z² + 2z
z² + 2z - 1 = 0

pq-formel anwenden
z_1,2 = -1 ± √2
wir bekommen zwei lösungen
z₁ = -1 + √2
z₂ = -1 - √2

probe durch einsetzen von z₁

(-1 + √2)² + 2(-1 + √2) -1 =
1 - 2√2 + 2 -2 + 2√2 -1 = 0

die gleichung z² + 2z - 1 = 0 wird mit z1 = -1 + √2 erfüllt.

probe durch einsetzen von z₂
(-1 - √2)² + 2(-1 - √2) -1 =
1 - 2(-1)√2 + 2 -2 - 2√2 -1 = 0

die gleichung z² + 2z - 1 = 0 wird mit z₁ = -1 - √2 erfüllt.

wir hatten ln(x) = z gesetzt. darum gilt.
e^ln(x) = x = e^z
weil wir zwei verschiedene z als ergebnis haben, nämlich z₁ und z₂, bekommen wir
zwei verschiedene lösungen für x, nämlich x₁ = e^z₁ und x₂ = e^z₂

jetzt prüfen wir, ob auch die gleichung 1 = ln²(x) + 2 ln(x) mit x₁ und x₂ erfüllt ist.
wir setzen zuerst x₁ ein.
1 = ln²(e^z₁ ) + 2 ln(e^z₁)
1 = ln²(e^{-1 + √2}) + 2 ln(e^{-1 + √2})
1 = (-1 + √2)² + 2(-1 + √2)
an dieser stelle sehen wir, dass wir gar nicht mehr weiterzurechnen brauchen, denn
diese gleichung haben wir bereits beim prüfen der lösung z₁ überprüft.
also brauchen wir die lösung x₂ auch nicht noch einmal zu prüfen, weil wir das bereits beim prüfen von z₂ erledigt haben.

Answer 2

Hi,

ln(x)^2+2ln(x)-1 = 0

z^2+2z-1 = 0        |pq-Formel

z₁ =-1-√2 und z₂ = -1+√2

 

Resubstitution:

x₁ = e^-1-√2

x₂ = e^{-1+√2}

 

Grüße